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相关试卷

1、如图，在扇形OAB中，半径 $O A = 1$ ，圆心角 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ， F是扇形弧上的动点，矩形CDEF内接于扇形，设 $∠ F O A = α$ ，则矩形CDEF的面积的最大值为．

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2、已知 $α, β \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\sin β = \frac{3}{5}$ ， $\cos (α + β) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $\sin α =$ ．

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3、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 $a = \sqrt{19}$ ， $c = 3$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $b =$ .

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4、设i为虚数单位，计算 $| 2 + i | =$ ．

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5、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 $△ A B C$ 内一点， $△ B M C$ ， $△ A M C$ ， $△ A M B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{M A} + S_{B} \cdot \vec{M B} + S_{C} \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ ．以下命题正确的有（）

A、若 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : 1 : 1$ ，则M为 $△ A M C$ 的重心 B、若M为 $△ A B C$ 的内心，则 $B C \cdot \vec{M A} + A C \cdot \vec{M B} + A B \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ C、若 $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， M为 $△ A B C$ 的外心，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = \sqrt{3} : 2 : 1$ D、若M为 $△ A B C$ 的垂心， $3 \vec{M A} + 4 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $\cos ∠ A M B = - \frac{\sqrt{6}}{6}$

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（）

A、若 $a \cos B = b \cos A$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $B = \frac{π}{4}$ ， $c = \sqrt{2}$ ， $b = \frac{6}{5}$ ，则 $△ A B C$ 只有一解 C、若 $b \cos A + (a - 2 c) \cos B = 0$ ，则 $B = \frac{π}{3}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$

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7、已知曲线 $C_{1} : y = 2 \sin x$ ， $C_{2} : y = 2 \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是

A、把 $C_{1}$ 上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{3}$ 倍（纵坐标不变），得到曲线 $C_{2}$ B、把 $C_{1}$ 上所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线 $C_{2}$ C、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{3}$ 倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ D、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$

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8、下列说法中正确的是（）

A、 $\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}$ B、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ 、 $\vec{b}$ ∥ $\vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ ∥ $\vec{c}$ D、对于两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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9、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若 $3 \sin^{2} C = \sin^{2} A + \sin^{2} B + 2 \sin A \sin B$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ，且 $S_{△ A B C} = 4$ ，则 $c =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、4 C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、5

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10、函数 $f (x) = \tan (\frac{π}{2} x + \frac{π}{3})$ 的单调区间是（）

A、 $(- \frac{5}{3} + 2 k, \frac{1}{3} + 2 k) (k \in Z)$ B、 $[- \frac{5}{3} + 2 k, \frac{1}{3} + 2 k] (k \in Z)$ C、 $(- \frac{5}{3} + 4 k, \frac{1}{3} + 4 k) (k \in Z)$ D、 $[- \frac{5}{3} + 4 k, \frac{1}{3} + 4 k] (k \in Z)$

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11、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$

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12、已知函数 $f (x) = sin (x + φ) (φ \in R)$ ，则“ $f (x)$ 是偶函数”是“ $φ = \frac{π}{2}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知 $z \cdot (1 + i) = 4$ ，则z的虚部为（）

A、-2 B、2 C、-1 D、1

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14、已知向量 $\vec{a} = (4, 3)$ ，则与向量 $\vec{a}$ 同向的单位向量的坐标为（）

A、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ D、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$

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15、 $\tan \frac{4 π}{3}$ 等于（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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16、如图，某区有一块 $△ O A B$ 的空地，其中 $O A = 2 km, O B = 2 \sqrt{3} km$ ， $∠ A O B = 90 °$ ．当地区政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 $△ O M N$ ，其中 $M$ ， $N$ 都在边 $A B$ 上，且 $∠ M O N = 30 °$ ，挖出的泥土堆放在 $△ O A M$ 地带上形成假山，剩下的 $△ O B N$ 地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在 $△ O A N$ 的周围安装防护网．
（1）当 $A M = 1 km$ 时，求防护网的总长度；
（2）若要求人工湖用地 $△ O M N$ 的面积是假山用地 $△ O A M$ 面积的 $\sqrt{3}$ 倍，试确定 $∠ A O M$ 的大小；
（3）如何设计施工方案，可使 $△ O M N$ 的面积最小？最小面积是多少？

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17、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形，且平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $C D ⊥ B C$ ， $B C = 2$ ，且直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角为 $45 °$ ，

(1)、求证： $C D ⊥ A B$ ；

(2)、求二面角 $C - A D - B$ 的余弦值；

(3)、求三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积．

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18、记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $△ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，且 $A D = 1$ ．

(1)、若 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，求 $c o s B$ ；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = 8$ ，求 $b$ ， $c$ ．

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19、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱垂直于底面， $A C = B C$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点．正 $△ A B C$ 的边长为 $2$ ， $B B_{1} = \sqrt{3}$ ，

(1)、求证： $B C_{1} //$ 平面 $C A_{1} D$ ；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - A_{1} D C$ 的体积；

(3)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角的正弦值.

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20、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $E$ ， $F$ 在 $B C$ 边上且 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{B F} = μ \vec{B C}$ ．

(1)、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，用 $\vec{A B} ， \vec{A C}$ 表示 $\vec{A E}$ ，并求线段 $A E$ 的长；

(2)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ， $μ = \frac{2}{3}$ ，求 $cos ∠ E A F$ 的值．

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