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相关试卷

1、设 $\vec{e}$ 是单位向量， $\vec{A B} = \vec{e}$ ， $\vec{C D} = - \vec{e}$ ， $|\vec{A D}| = 1$ ，则四边形 $A B C D$ 是（）

A、梯形 B、菱形 C、矩形 D、正方形

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2、对于平面向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}) (x_{k}, y_{k} \in N, k = 0, 1, 2, \dots)$ ，定义“ $F$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F (\vec{a_{k}})$ ，其中 $x_{k + 1} = |x_{k} - y_{k}|, y_{k + 1} = |max \{x_{k}, y_{k}\} - 2 min \{x_{k}, y_{k}\}|, max \{x_{k}, y_{k}\}$ 表示 $x_{k}, y_{k}$ 中较大的一个数， $min \{x_{k}, y_{k}\}$ 表示 $x_{k}, y_{k}$ 中较小的一个数.若 $x_{k} = y_{k}$ ，则 $max \{x_{k}, y_{k}\} = min \{x_{k}, y_{k}\} = x_{k} = y_{k}$ .记 $⟨\vec{a_{k}}⟩ = x_{k} y_{k}, ||\vec{a_{k}}|| = x_{k} + y_{k}$ .

(1)、若 $\vec{a_{0}} = (1, 9)$ ，求 $⟨\vec{a_{2}}⟩$ 及 $||\vec{a_{2}}||$ ；

(2)、已知 $⟨\vec{a_{1}}⟩ = 2024, ||\vec{a_{1}}|| = 2025$ ，将 ${\vec{a}}_{1}$ 经过 $m$ 次 $F$ 变换后， $||\vec{a_{m + 1}}||$ 最小，求 $m$ 的最小值；

(3)、证明：对任意 $\vec{a_{0}}$ ，经过若干次 $F$ 变换后，必存在 $k \in N_{+}$ ，使得 $⟨\vec{a_{k}}⟩ = 0$ .

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3、平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知 $△ A B C$ 的垂心为D，外心为E，D和E关于原点O对称， $A (13, 0)$ .

(1)、若 $E (3, 0)$ ，点B在第二象限，直线 $B C ⊥ x$ 轴，求点B的坐标；

(2)、若A，D，E三点共线，椭圆T： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与 $△ A B C$ 内切，证明：D，E为椭圆T的两个焦点.

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4、已知函数 $f (x) = a sin x + x cos x$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > - 1$ ，证明： $f (x)$ 在 $(- π, π)$ 上有3个零点.

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P C D$ 内存在一条直线 $E F$ 与 $A B$ 平行， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $P A = B C = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = 2 A B = 4$ .

(1)、证明：四边形 $A B C D$ 是直角梯形.

(2)、若点 $E$ 满足 $\vec{P E} = 2 \vec{E D}$ ，求二面角 $P - E F - B$ 的正弦值.

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6、某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设 $A =$ “抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”， $B =$ “抽取的学生建立了个性化错题本”，且 $P (A | \bar{B}) = \frac{2}{3}$ ， $P (B | \bar{A}) = \frac{5}{6}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ .

(1)、求 $P (A)$ 和 $P (A |B)$ .

(2)、若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，
个性化错题本
期末统考中的数学成绩
合计
及格
不及格
建立
未建立
合计
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.01
0.005
0.001
$x_{a}$
6.635
7.879
10.828

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7、已知某种有盖的圆柱形容器的底面圆半径为 $1 + \sqrt{2}$ ，高为100，现有若干个半径为的 $\sqrt{2}$ 实心球，则该圆柱形容器内最多可以放入个这种实心球.

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8、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $c^{2} \sin A = 6 \sin C$ ， ${(a + c)}^{2} = 18 + b^{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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9、已知F为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $P (1, - 2)$ 在抛物线上，直线 $P F$ 与抛物线C的另一个交点为A，则 $|A F| =$ .

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10、已知函数 $f (x) = e^{|x + k|}$ ，函数 $g (x) = \frac{1}{2} e^{|x - \frac{k}{2}|}$ ，且 $k < 0$ ，定义运算 $a \otimes b = \{\begin{matrix} b, a > b, \\ a, a \leq b, \end{matrix}$ 设函数 $h (x) = f (x) \otimes g (x)$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $h (x)$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ B、若 $h (x)$ 在 $[0, ln 2]$ 上单调递增，则k的取值范围为 $(- \infty, - 2 \ln 2]$ C、若 $h (x) = m$ 有4个不同的解，则m的取值范围为 $(1, e^{- \frac{1}{2}}^{(ln 2 + \frac{3 k}{2})})$ D、若 $h (x) = m$ 有3个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3},$ 则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$

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11、如图1，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $E F ⊥ A B$ ， $C F = E F = 2 D F = 2$ ， $A E = 3$ ， $E B = 4$ ，将四边形 $A E F D$ 沿 $E F$ 进行折叠，使 $A D$ 到达 $A^{'} D^{'}$ 位置，且平面 $A^{'} D^{'} F E ⊥$ 平面 $B C F E$ ，连接 $A^{'} B$ ， $D^{'} C$ ，如图2，则（）

A、 $B E ⊥ A^{'} D^{'}$ B、平面 $A^{'} E B //$ 平面 $D^{'} F C$ C、多面体 $A^{'} E B C D^{'} F$ 为三棱台 D、直线 $A^{'} D^{'}$ 与平面 $B C F E$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$

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12、已知函数 $f (x) = sin (x + 1)$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称 C、若 $f (x_{0}) = 1$ ，则 $f (2 x_{0}) = 2$ D、将 $f (x)$ 的图象往右平移1个单位长度后可以得到函数 $y = sin x$ 的图象

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13、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点，是 $M$ 双曲线 $C$ 右支上的一个动点，且“ ${|M F_{1}|}^{2} - {|M F_{2}|}^{2}$ ”的最小值是 $8 \sqrt{6}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$

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14、若函数 $y = f (x) - 1$ 是定义在R上的奇函数，则 $f (- 1) + f (0) + f (1) =$ （）

A、3 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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15、某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下：
5588     6054     8799     9851     9901     10111   11029   11207   12634   12901
13001   13092   13127   13268   13562   13621   13761   13801   14101   14172
14191   14292   14426   14468   14562   14621   15061   15601   15901   19972
估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（       ）

A、14292 B、14359 C、14426 D、14468

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16、已知集合 $A = \{x \in Z |x + 1 > 0\}$ ， $B = \{x |x \leq a\}$ ，若 $A \cap B$ 中有2个元素，则a的取值范围是（）

A、 $[2, 4)$ B、 $[1, 2)$ C、 $[2, 4]$ D、 $[1, 2]$

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17、已知复数 $z$ 满足 $2 - z i = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $- 1 + i$

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18、已知 $Q : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 为有穷正整数数列，且 $a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{k}$ ，集合 $X = \{- 1, 0, 1\}$ ．若存在 $x_{i} \in X, i = 1, 2, \dots, k$ ，使得 $x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + \dots + x_{k} a_{k} = t$ ，则称 $t$ 为 $k -$ 可表数，称集合 $T = \{t ∣ t = x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + \dots + x_{k} a_{k}, x_{i} \in X, i = 1, 2, \dots, k\}$ 为 $k -$ 可表集．

(1)、若 $k = 10, a_{i} = 2^{i - 1}, i = 1, 2, \dots, k$ ，判定31，1024是否为 $k -$ 可表数，并说明理由；

(2)、若 $\{1, 2, \dots, n\} \subseteq T$ ，证明： $n \leq \frac{3^{k} - 1}{2}$ ；

(3)、设 $a_{i} = 3^{i - 1}, i = 1, 2, \dots, k$ ，若 $\{1, 2, \dots, 2024\} \subseteq T$ ，求 $k$ 的最小值．

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19、已知函数 $f (x) = sin x + e^{x} + a ln (x + 1)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \leq - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(- 1, 0]$ 上的最小值；

(3)、写出实数 $a$ 的一个值，使得 $f (x) \geq 1$ 恒成立，并证明．

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20、双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，点 $T (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ 在C上.

(1)、求C的方程；

(2)、设圆O： $x^{2} + y^{2} = 2$ 上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.

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个性化错题本	期末统考中的数学成绩		合计
个性化错题本	及格	不及格	合计
建立
未建立
合计

$α$	0.01	0.005	0.001
$x_{a}$	6.635	7.879	10.828