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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $M$ ，若对于任意 $a, b, c \in M$ ， $f (a)$ ， $f (b)$ ， $f (c)$ 能够成一个三角形的三条边长，则称函数 $y = f (x)$ 为集合 $M$ 上的“三角形函数”.

(1)、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 是区间 $[\frac{1}{2}, t]$ （ $t$ 为常数）上的“三角形函数”，求 $t$ 的取值范围；

(2)、已知函数 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 是区间 $[- \frac{π}{6}, θ]$ （ $θ$ 为常数）上的“三角形函数”，在函数 $f (x)$ 的图象上，是否存在三个不同的点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ ， $C (x_{3}, f (x_{3}))$ ，当 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ 时， $f (x_{1}) + f (x_{3}) = \sqrt{3} f (x_{2})$ ，若存在，求 $\cos (x_{1} - x_{3})$ 的值；若不存在，说明理由.

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2、已知函数 $f (x) = - 1 + \frac{2}{k \cdot 3^{x} + 1} (k \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求 $k$ 的值；

(2)、当 $k = 1$ 时，若函数 $g (x) = m \cdot 3^{x} + (m + 1) f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 有2个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} (a - c \cos B) = c \sin B$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $B C = 2$ ， $D$ 为边 $A C$ 上一点（不同于 $A$ ， $C$ 两点）， $A D = B D$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ 的取值范围.

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4、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是边 $B C$ 边上中线， $E$ 为 $A D$ 中点，过点 $E$ 点直线交边 $A B$ ， $A C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，设 $\vec{A B} = λ \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = μ \vec{A N}$ ，（ $M$ ， $N$ 与点 $B$ ， $C$ 不重合）

(1)、证明： $λ + μ$ 为定值；

(2)、求 $\frac{1}{λ + 1} + \frac{1}{μ + 2}$ 的最小值，并求此时的 $λ$ ， $μ$ 的值.

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5、已知集合 $A = \{x | \frac{x + 2}{x - 6} \leq 0\}$ ， $B = \{x | 2^{x - 1} \geq 4\}$ .

(1)、求 $A \cap B$ 和 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若集合 $C = \{x | a - 1 < x \leq 3 - a\}$ ，且 $A \cap C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + 2 x) = f (1 - 2 x)$ ，且 $f (x + 1)$ 关于 $(- 1, 0)$ 对称，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = e^{x} - a$ ，则 $\sum_{k = 1}^{100} k \cdot f (k) =$ .（注： $\sum_{i = 1}^{n} i = 1 + 2 + \dots + n$ ）

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7、已知函数 $f (x)$ ， $x \in R$ 且 $f (0) = 4$ ， $\frac{f (0.5)}{f (0)} = 2$ ， $\frac{f (1)}{f (0.5)} = 2$ ， $\dots$ ， $\frac{f (0.5 n)}{f (0.5 (n - 1))} = 2$ ， $n \in N^{*}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的解析式为.

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8、 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $c = 2 (a \cos C - b)$ ， $a = 3$ ， $b = 2 c$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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9、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ ， $(ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，已知 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 为函数 $f (x)$ 的一个对称中心， $x = \frac{7 π}{12}$ 为 $f (x)$ 的一条对称轴，且函数在 $[\frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}]$ 上单调递减，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、直线 $x = \frac{25}{12} π$ 为函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上有1个零点 D、对于任意的 $k > 0$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x) = k (x - \frac{4}{3} π)$ 总有奇数个根

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10、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\ln (x - 1)|, x > 1 \\ - x^{2} - 4 x + 5, x \leq 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有四个零点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 \leq m < 9$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 4$ C、 $x_{3} \cdot x_{4} = 1$ D、 $x_{3} + x_{4} \in (4, e^{9} + \frac{1}{e^{9}} + 2)$

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11、改革开放以来，某地区率先推进经济转型升级和高质量发展，成功实现从传统的农业、工业化经济向现代化服务型、创新型、数字经济转化，实现了从粗放型增长向高质量发展的迈进.该地区经过近十年的发展，经济总收入增加了两倍，下图统计了该地区经济转型前和经济转型后经济总收入的构成比例，则下面结论中正确的是（）

A、经济转型后，农业收入减少 B、经济转型后，工业收入增加了一倍以上 C、经济转型后，其他产业收入是转型前的两倍以上 D、经济转型后，第三产业收入超过了经济转型前经济总收入

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12、已知函数 $f (x)$ 满足：①定义域为 $R$ ；②对任意 $x \in R$ ，有 $f (x + π) = f (x)$ ；③当 $x \in [0, π]$ 时， $f (x) = \{\begin{array}{l} \sin x, 0 \leq x \leq \frac{π}{2} \\ \frac{2}{π} (π - x), \frac{π}{2} < x \leq π \end{array}$ ；若函数 $g (x) = \frac{1}{2} \ln |x|$ ， $(x \neq 0)$ ，则函数 $y = f (x) - g (x)$ 在 $R$ 上零点个数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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13、设 $a = {(\frac{4}{5})}^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = {(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{3}}$ ， $c = {(\frac{5}{4})}^{\frac{2}{3}}$ ，则它们的大小关系正确的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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14、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{b}$ 的最大值为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{2}$ C、10 D、 $4 \sqrt{3}$

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15、函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{\ln |x| + 1}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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16、下列函数为奇函数的是（）

A、 $y = x^{3} - x^{2}$ B、 $y = e^{x} + e^{- x}$ C、 $y = \log_{2} \frac{1 - x}{1 + x}$ D、 $y = x^{2} \cos 2 x$

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17、下列命题中，真命题的选项是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $\ln x^{2} \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $- 1 \leq \frac{1}{\sin x} \leq 1$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} \leq 1$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $\cos x_{0} = 2$

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18、已知样本数据为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ ，平均数为 $x_{1}$ ，则数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ ， $\bar{x}$ 与原数据相比，下列数字特征一定不变的是（）

A、平均数 B、方差 C、众数 D、中位数

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19、已知集合 $A = \{x | x^{3} - 2 x - 1 < 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0, 1\}$ B、 $\{- 2, - 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2菱形， $∠ A D C = 60 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $P D$ 的中点.

(1)、求证； $E F / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P C ⊥ A B$ ， $P C = \sqrt{6}$ ， $P B = 2$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成角的余弦值.

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