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相关试卷

1、“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间 $[7, 9), [9, 11), [11, 13), [13, 15), [15, 17), [17, 19]$ ，用频率分布直方图表示如下：
假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．

(1)、估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间 $[13, 17)$ 的概率；

(2)、从全校学生中随机选取3人，记 $ξ$ 表示这3人一周参加课后活动的时间在区间 $[15, 17)$ 的人数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ ；

(3)、设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为 $a$ ､平均数的估计值为 $b$ （计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出 $a, b$ 的大小关系．

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2、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是边长为2的菱形， $∠ A B B_{1} = \frac{π}{3}$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $A_{1} B_{1}$ 中点， $C M = \sqrt{11}$ .

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $B C = 2$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $A B C_{1}$ 夹角的余弦值.

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3、已知球O的表面积为 $12 π$ ，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为 $△ B C D$ 的外心，棱AB与球面交于点P．若 $A \in$ 平面 $α_{1}$ ， $B \in$ 平面 $α_{2}$ ， $C \in$ 平面 $α_{3}$ ， $D \in$ 平面 $α_{4}$ ， $α_{i} / / α_{i + 1} (i = 1, 2, 3)$ 且 $α_{i}$ 与 $α_{i + 1} (i = 1, 2, 3)$ 之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与 $α_{2}$ 交于点Q，R，则 $△ P Q R$ 的周长为.

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4、已知函数 $f (x) = x^{a} - \log_{b} x$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）且 $b \neq 1$ ），若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，则 $a b$ 的最小值为.

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5、已知O为坐标原点，点F为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F， $O A ⊥ O B$ ，则C的离心率为．

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6、已知函数 $f (x) = \cos x + |\sin \frac{x}{2}|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 单调递增 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $[0, \frac{9}{8}]$ D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 在区间 $[0, 2 π]$ 有实数根，则所有根之和组成的集合为 $\{π, 2 π, 4 π\}$

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7、袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件 $A =$ “取出的球的数字之积为奇数”，事件 $B =$ “取出的球的数字之积为偶数”，事件 $C =$ “取出的球的数字之和为偶数”，则（）

A、事件 $A$ 与 $B$ 是互斥事件 B、事件 $A$ 与 $B$ 是对立事件 C、事件 $B$ 与 $C$ 是互斥事件 D、事件 $B$ 与 $C$ 相互独立

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8、设 $z$ 为复数（ $i$ 为虚数单位），下列命题正确的有（）

A、若 $z \in R$ ，则 $z = \bar{z}$ B、若 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若 $(1 + i) z = 1 - i$ ，则 $|z| = 1$ D、若 $z^{2} + 1 = 0$ ，则 $z = i$

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9、已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 和 $y = - \frac{1}{16} x^{2} + 5$ 所围成的封闭曲线如图所示，已知点 $A (0, a)$ ，若在此封闭曲线上至少存在两对不同的点，满足每一对点关于点 $A$ 对称，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 4]$ B、 $[\frac{5}{2}, 4)$ C、 $[\frac{5}{2}, 3)$ D、 $(2, 3]$

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10、已知直线 $l : y = m x - m - 1$ ， $P$ 为圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 上一动点，设 $P$ 到直线 $l$ 距离的最大值为 $d (m)$ ，当 $d (m)$ 最大时， $m$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $2$

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11、甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）

A、156 B、210 C、211 D、216

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12、2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）： $A B \approx 8$ cm， $A D \approx 2$ cm， $A O \approx 5$ cm，若 $\sin 37^{°} \approx \frac{3}{5}$ ， $π \approx 3.14$ ，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（）

A、 $6.8 {cm}^{2}$ B、 $9.8 {cm}^{2}$ C、 $14.8 {cm}^{2}$ D、 $22.4 {cm}^{2}$

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13、在 ${(2 + x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为（）

A、1 B、10 C、40 D、80

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14、已知集合 $P = \{x |- 1 \leq x \leq 1\}$ ， $M = \{- a, a\}$ ．若 $P \cup M = P$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $\{a |- 1 \leq a \leq 1\}$ B、 $\{a |- 1 < a < 1\}$ C、 $\{a |- 1 < a < 1$ 且 $a \neq 0\}$ D、 $\{a |- 1 \leq a \leq 1$ 且 $a \neq 0\}$

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15、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中 $a = 2$ ，已知S为 $△ A B C$ 的面积且满足 $4 \sqrt{3} S + 3 (4 - b^{2}) = 3 c^{2}$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的取值范围；

(2)、法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．若P是 $△ A B C$ 内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式： $y_{1}, y_{2}, y_{3} n \in R^{+}$ ， $\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} \geq \frac{{(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2}}{y_{1} + y_{2} + y_{3}}$ 当且仅当 $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}} = \frac{x_{3}}{y_{3}}$ 时等号成立．求 $T = \frac{| A B |}{| P D |} + \frac{4 | B C |}{| P E |} + \frac{| A C |}{| P F |}$ 的最小值．

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16、已知平面向量 $\vec{a} = (\sin x, \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \cos x, - \cos x)$ ， $\vec{c} = (1, 2 \cos x - 1)$ ．

(1)、设函数 $f (x) = 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求 $f (x)$ 的对称轴方程；

(2)、设函数 $g (x) = 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，求 $g (x)$ 的最大值．

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17、函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的一段图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (x) - a \leq 0$ 在 $x \in [- π, \frac{π}{3}]$ 上恒成立，求实数a的取值范围．

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18、某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距 $25 \sqrt{6}$ 海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东 $45^{\circ}$ ， B点北偏西 $75^{\circ}$ ，这时位于B点南偏西 $45^{\circ}$ 且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．

(1)、求B点到D点的距离BD；

(2)、若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．

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19、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 3), \vec{b} = (2, x), \vec{c} = (- 3, x + 5)$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求 $|\vec{b}|$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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20、已知 $\tan α = 3$ ．

(1)、求 $\frac{3 \cos (π + α) + \cos (\frac{π}{2} + α)}{\sin (3 π - α) - \cos (- α)}$ 的值．

(2)、求 $3 \sin^{2} α - \cos^{2} α$ 的值；

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