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相关试卷

1、电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数 $n (n \in N^{*})$ 可以表示成二进制数 ${(a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{k})}_{2}$ ， $n = a_{0} \times 2^{k} + a_{1} \times 2^{k - 1} + a_{2} \times 2^{k - 2} +$ $\dots + a_{k - 1} \times 2^{1} + a_{k} \times 2^{0}$ ，其中 $a_{0} = 1$ ， $a_{i} \in {0, 1}$ ， $i = 0, 1, 2, \dots, k, k \in N$ ．用 $f (n)$ 表示十进制数n的二进制表示中1的个数，则 $f (7) =$ ；对任意 $r \in N^{*}$ ， $\sum_{n = 2^{r}}^{2^{r + 1} - 1} 2^{f (n)} =$ ．

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2、已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6}) + 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[1, 5]$ B、 $f (x)$ 的对称中心为 $(\frac{π}{12} + \frac{k π}{2}, 0), k \in Z$ C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的递增区间为 $(0, \frac{π}{3})$ D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{5}{6} π)$ 上的极值点个数为1

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3、设O为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的两个焦点，点 P在C上， $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则 $| O P | =$ （）

A、 $\frac{13}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{35}}{2}$

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4、在平面四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点.若 $A B = 2$ ， $C D = 3$ ，且 $\vec{E F} \cdot \vec{A B} = 4$ ，则 $|\vec{E F}| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{42}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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5、已知直线 $y = a$ 与函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ 的图象分别相交于 $A$ ， $B$ 两点.设 $k_{1}$ 为曲线 $y = f (x)$ 在点 $A$ 处切线的斜率， $k_{2}$ 为曲线 $y = g (x)$ 在点 $B$ 处切线的斜率，则 $k_{1} k_{2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、 $e$ D、 $e^{e}$

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6、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，弦 $A B$ 过定点 $P (1, 1)$ ，则弦长 $|A B|$ 不可能的取值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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7、已知 $m, n, l$ 是空间中三条互不重合的直线， $α, β$ 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A、 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n ∥ α$ B、 $m ∥ n$ 且 $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、 $m ∥ α, m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ D、 $α ∥ β, l \subset α, n \subset β$ ，则 $l ∥ n$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{3 \cdot 2^{x} - 7}{2^{x} - 3}$ ， $g (x) = |\log_{2} x|$ .
（1）当 $x \in [0, 1]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值城
（2）若关于 $x$ 的方程 $g (x) = t$ 有两个不等根 $α, β (α < β)$ ，求 $α β$ 的值；
（3）是否存在实数 $a$ ，使得对任意 $m \in [0 ， 1]$ ，关于 $x$ 的方程 $4 g^{2} (x) - 4 a g (x) + 3 a - 1 - f (m) = 0$ 在区间 $[\frac{1}{8}, 4]$ 上总有3个不等根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，若存在，求出实数 $a$ 与 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

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9、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ∥ A D$ ， $P A ⊥ A D$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ，且 $P A = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 2$ .

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值.

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\frac{2 c}{b} = 1 + \frac{\tan A}{\tan B}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、角 $A$ 的内角平分线交 $B C$ 于点 $M$ ，若 $a = 4 \sqrt{7}$ ， $A M = 3 \sqrt{3}$ ，求 $\sin ∠ A M C$ .

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11、函数 $f (x) = 6 {cos}^{2} \frac{ω x}{2} + \sqrt{3} \sin ω x - 3 (ω > 0)$ 在一个周期内的图象如图所示， $A$ 为图象的最高点， $B$ 、 $C$ 为图象与 $x$ 轴的交点，且 $Δ A B C$ 为正三角形.
（1）求 $ω$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；
（2）若 $f (x_{0}) = \frac{8 \sqrt{3}}{5}$ ，且 $x_{0} \in (- \frac{10}{3}, \frac{2}{3})$ ，求 $f (x_{0} + 1)$ 的值.

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12、某校从参加高一年级期中数学考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 $[90, 100)$ ， $[100, 110)$ ， $[110, 120)$ ， $[120, 130)$ ， $[130, 140)$ ， $[140, 150]$ ，后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(1)、求分数在 $[120, 130)$ 内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)、估计本次考试的平均分、中位数及 $80 %$ 分位数的值.

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13、设 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，满足 $\vec{A G} \cdot \vec{B G} = 0$ .若 $\frac{1}{tan A} + \frac{1}{tan B} = \frac{λ}{tan C}$ ，则实数 $λ$ 的值为.

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14、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $A_{1} D_{1}, A_{1} B_{1}$ 的中点， $P$ 是侧面正方形 $B C C_{1} B_{1}$ 内一点（含边界），若 $F P / /$ 平面 $A E C$ ，则线段 $F P$ 长度的取值范围是．

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15、已知 $α$ 是第三象限角，且 $cos 2 α = - \frac{3}{5}$ ，则 $cos (\frac{π}{2} + α) =$ ， $tan (\frac{π}{4} + 2 α) =$ .

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16、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $P$ 为平面 $A B C D$ 内一动点，则下列说法正确的是（）

A、若点 $P$ 在棱 $A D$ 上运动，则 $A_{1} P + P C$ 的最小值为 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、若点 $P$ 是棱 $A D$ 的中点，则平面 $P B C_{1}$ 截正方体所得截面的周长为 $2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2}$ C、若点 $P$ 满足 $P D_{1} ⊥ D C_{1}$ ，则动点 $P$ 的轨迹是一条直线 D、若点 $P$ 在直线 $A C$ 上运动，则 $P$ 到棱 $B C_{1}$ 的最小距离为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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17、如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条不同的直径， $\overset{⃑}{B F} = 2 \overset{⃑}{F O}$ ，则（）

A、 $\overset{⃑}{B F} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{F C}$ B、 $\overset{⃑}{F D} \cdot \overset{⃑}{F E} = - \frac{8}{9}$ C、 $- 1 < \cos < \overset{⃑}{F D}, \overset{⃑}{F E} > \leq - \frac{4}{5}$ D、满足 $\overset{⃑}{F C} = λ \overset{⃑}{F D} + μ \overset{⃑}{F E}$ 的实数 $λ$ 与 $μ$ 的和为定值4

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18、若正数 $a, b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{4}{b - 1}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、9 D、16

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19、若 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} = 2$ ，则 $\sin (α - 5 π) \cdot \sin (\frac{3}{2} π - α)$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\pm \frac{3}{10}$ D、 $- \frac{3}{10}$

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20、如图，正三角形 $A B C$ 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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