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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $b \cos A - a \cos B = a + c$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{7}$ ， $a = 2$ ，点D在边 $A C$ 上，且 $C D = 2 A D$ ，求 $B D$ 的长.

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2、窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形 $A B C D E F$ 的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，圆 $O$ 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点 $P$ 在正六边形的边上运动， $M N$ 为圆的直径，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是．

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3、已知正四棱台的上下底边长分别为 $2, 12 cm$ ，正四棱台体积为 $688 {cm}^{3}$ ，则此表面积为 ${cm}^{2}$

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4、写出一个同时满足①②的复数 $z =$ .① $z^{2} = \bar{z}$ ；② $z \notin R$ .

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5、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1, M, N$ 分别为 $B B_{1}, A B$ 的中点.下列说法正确的是（）

A、点 $M$ 到平面 $A N D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ C、面 $A N D_{1}$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球所得圆的面积为 $\frac{3 π}{4}$ D、以顶点 $A$ 为球心， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 $\frac{5 \sqrt{3} π}{6}$

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ B、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$ C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 一定是等腰直角三角形 D、若 $B = 60 °$ ， $b^{2} = a c$ ，则 $△ A B C$ 一定是等边三角形

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7、设 $z_{1}, z_{2}$ 是复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ B、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = z_{2} \cdot \bar{z_{2}}$ D、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$

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8、《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即 $V = s l$ （ $V$ 表示平面图形绕旋转轴旋转的体积， $s$ 表示平面图形的面积， $l$ 表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）．如图，等腰梯形 $A B C D$ ，已知 $A B ∥ D C, A E ⊥ C D, C D = 3 A B, A E = 6$ ，则其重心 $G$ 到 $C D$ 的距离为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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9、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设向量 $\vec{m} = (a, sin A), \vec{n} = (b, sin \frac{B}{2})$ 若 $\vec{m}$ $∥$ $\vec{n}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、已知某地区中小学共有学生20000人，各学段学生所占比例如图甲所示，近视情况如图乙所示，则该地区初中生近视的人数为（）

A、3150 B、3600 C、5250 D、6000

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11、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，且 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$

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12、某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为 $1 : 4 : 3 : 2$ ，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（）

A、16 B、12 C、8 D、4

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13、已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 b + c - 2 a cos C = 0$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、射线 $A B$ 绕 $A$ 点旋转 $90^{\circ}$ 交线段 $B C$ 于点 $E$ ，且 $A E = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最小值.

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15、已知函数 $f (x) = x \ln x + \frac{a}{x} (a \in R)$ 在 $x = 1$ 处取得极值．

(1)、求 $f (e)$ 的值；

(2)、设 $P (x) = \frac{1}{2} m (x^{2} - 2 x) - \frac{x^{3} + 1}{x^{2}} + \frac{1}{x} f (x)$ （其中 $m \in R$ ），讨论函数 $P (x)$ 的单调性；

(3)、若对 $\forall x \in [1, 3]$ ，都有 $f (x) - \frac{1 + n x^{2}}{x} + \frac{6 x - 4}{x + 1} - \ln x \leq 1 - n$ ，求n的取值范围．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、删去数列 $\{a_{n}\}$ 的第 $3 i$ 项（其中 $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot$ ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 $\{b_{n}\}$ ，设 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，请写出 $\{b_{n}\}$ 的前6项，并求出 $T_{6}$ 和 $T_{2 n}$ ．

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17、（1）若 ${(2 x - \sqrt{3})}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 的值；
（2）在 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
①求 $n$ 的值；
②若第 $k$ 项是有理项，求 $k$ 的取值集合；
③求系数最大的项．

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18、设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X，则 $\sqrt{D (X)} =$ ．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ，有 $a_{n + 1} = a_{n} + {(- 1)}^{n} \cdot n$ ，则 $a_{22} =$ .

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20、已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{matrix} 10.8 - \frac{1}{30} x^{2}, 0 < x \leq 10, \\ \frac{108}{x} - \frac{1000}{3 x^{2}}, x > 10 \end{matrix}$ 当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（）

A、年产量为9000件 B、年产量为10000件 C、年利润最大值为38万元 D、年利润最大值为38.6万元

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