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相关试卷

1、定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列 $\{a_{n}\}$ 是由正数组成的等方差数列，且方公差为2， $a_{13} = 5$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}\}$ 的前60项和 $S_{60} = \frac{\sqrt{119} - 1}{2}$ B、数列 $\{\frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}\}$ 的前60项和 $S_{60} = 5$ C、数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的通项公式是 $a_{n}^{2} = 2 n - 1$ D、数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的通项公式是 $a_{n}^{2} = 2 n + 1$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ 且 $a_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ ，若 $S_{n} + a_{n} > {(- 1)}^{n} a$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(- 1, \frac{3}{2})$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

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3、 $(x - 3) {(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为（）

A、120 B、 $- 120$ C、180 D、 $- 180$

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4、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，那么对于函数 $y = f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、在 $(- \infty, - 1)$ 上单调递增 B、在 $(1, + \infty)$ 上单调递减 C、在 $x = 1$ 处取得最大值 D、在 $x = 2$ 处取得极大值

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5、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{7} = 12$ ，则 $S_{7} - S_{2}$ 的值是（）

A、12 B、18 C、24 D、30

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6、甲、乙两人进行知识问答比赛，共有 $n$ 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为 $p$ 和 $\frac{1}{3}$ ，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.

(1)、若 $n = 3$ ， $p = \frac{1}{2}$ ，求甲获胜的概率；

(2)、若 $n = 20$ ，设甲第 $i$ 题的得分为随机变量 $X_{i}$ ，一次比赛中得到 $X_{i}$ 的一组观测值 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ ，如下表.现利用统计方法来估计 $p$ 的值：
①设随机变量 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ ，若以观测值 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ 的均值 $\bar{x}$ 作为 $\bar{X}$ 的数学期望，请以此求出 $p$ 的估计值 ${\hat{p}}_{1}$ ；
②设随机变量 $X_{i}$ 取到观测值 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ 的概率为 $L (p)$ ，即 $L (p)$ $= P (X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \dots, X_{20} = x_{20})$ ；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着 $p$ 的变化，用使得 $L (p)$ 达到最大时 $p$ 的取值 ${\hat{p}}_{2}$ 作为参数 $p$ 的一个估计值.求 ${\hat{p}}_{2}$ .
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
1
0
0
﹣1
1
1
﹣1
0
0
0
题目
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
得分
﹣1
0
1
1
﹣1
0
0
0
1
0
表1：甲得分的一组观测值.
附：若随机变量 $X$ ， $Y$ 的期望 $E (X)$ ， $E (Y)$ 都存在，则 $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ .

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项不为0，前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，满足 $2 \sqrt{S_{n}} = a_{n} + c (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明： $c \leq 1$ ；

(2)、若 $c = 0$ ，证明： $S_{n} \geq {(n + 1)}^{2}$ ；

(3)、是否存在常数 $c$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 为等比数列?若存在，求出 $c$ 的所有可能值；若不存在，说明理由．

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8、如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形， $A B / / C D, A D = C D = \frac{1}{2} A B$ ，平面PAD⊥平面PAB， $P A ⊥ P B$ .

(1)、求证：△PAD为直角三角形；

(2)、若 $A D = P B$ ，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.

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9、剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} (a > 0)$ 的曲线C（称为星形线），则曲线C的内切圆半径为；以曲线C上点 $(m, n) (m n \neq 0)$ 为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于．

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10、某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标 $X \sim N (800, σ^{2})$ ，且 $P (X < 801) = 0.6$ ，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记 $Y$ 表示 $800 \leq X < 801$ 的瓷砖片数，则 $E (Y) =$ ．

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11、 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2} ， ∠ A C B = \frac{π}{4}$ ， O是 $△ A B C$ 外接圆圆心，则 $\overset{⃑}{O C} \cdot \overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{C A} \cdot \overset{⃑}{C B}$ 的最大值为（　　）

A、0 B、1 C、3 D、5

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12、蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面 $A B C D E F$ 是正六边形，棱 $A G$ ， $B H$ ， $C I$ ， $D J$ ， $E K$ ， $F L$ 均垂直于底面 $A B C D E F$ ，上顶由三个全等的菱形 $P G H I$ ， $P I J K$ ， $P K L G$ 构成.设 $B C = 1$ ， $∠ G P I = ∠ I P K = ∠ K P G = θ \approx 109^{\circ} 2 8^{'}$ ，则上顶的面积为（）
（参考数据： $cos θ = - \frac{1}{3}$ ， $tan \frac{θ}{2} = \sqrt{2}$ ）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{9 \sqrt{2}}{4}$

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13、已知 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q (q \neq 1)$ 的等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和.若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $S_{n} < \frac{a_{1}}{1 - q}$ 恒成立，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 C、 $\{S_{n}\}$ 是递增数列 D、 $\{S_{n}\}$ 是递减数列

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14、“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）

A、120种 B、180种 C、240种 D、300种

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15、已知圆 $C : x^{2} + 2 x + y^{2} - 1 = 0$ ，直线 $m x + n (y - 1) = 0$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $△ A B C$ 为直角三角形，则（）

A、 $m n = 0$ B、 $m - n = 0$ C、 $m + n = 0$ D、 $m^{2} - 3 n^{2} = 0$

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16、设 $θ \in (0, π)$ ，则“ $θ < \frac{π}{6}$ ”是“ $\sin θ < \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x} (a \neq 0)$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若存在两条直线 $y = a x + b_{1}$ 、 $y = a x + b_{2}$ $(b_{1} \neq b_{2})$ 都是曲线 $y = f (x)$ 的切线，求实数 $a$ 的取值范围；
（3）若 $\{x |f (x) \leq 0\}$ $\subseteq (0, 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\sin B + \sin C = 2 \sin A \cos B$ .

(1)、证明： $a^{2} - b^{2} = b c$ ；

(2)、如图，点 $D$ 在线段 $A B$ 的延长线上，且 $|A B| = 3$ ， $|B D| = 1$ ，当点 $C$ 运动时，探究 $|C D| - |C A|$ 是否为定值？

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19、在测试中，客观题难度的计算公式为 $P_{i} = \frac{R_{i}}{N}$ ，其中 $P_{i}$ 为第 $i$ 题的难度， $R_{i}$ 为答对该题的人数， $N$ 为参加测试的总人数 $.$ 现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题 $.$ 测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度 $P_{i}$
$0.9$
$0.8$
$0.7$
$0.6$
$0.4$
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
4

(1)、根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；

(2)、从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、试题的预估难度和实测难度之间会有偏差 $.$ 设 $P_{i}^{'}$ 为第 $i$ 题的实测难度，请用 $P_{i}$ 和 $P_{i}^{'}$ 设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．

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20、已知三棱锥 $P - A B C$ (如图1)的平面展开图（如图2）中，四边形 $A B C D$ 为边长等于 $\sqrt{2}$ 的正方形， $Δ A B E$ 和 $Δ B C F$ 均为正三角形，在三棱锥 $P - A B C$ 中：
（1）证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；
（2）若点 $M$ 在棱 $P A$ 上运动，当直线 $B M$ 与平面 $P A C$ 所成的角最大时，求二面角 $P - B C - M$ 的正切值．

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题目	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
得分	1	0	0	﹣1	1	1	﹣1	0	0	0
题目	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
得分	﹣1	0	1	1	﹣1	0	0	0	1	0

题号	1	2	3	4	5
考前预估难度 $P_{i}$	$0.9$	$0.8$	$0.7$	$0.6$	$0.4$

题号	1	2	3	4	5
实测答对人数	16	16	14	14	4