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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P B = \sqrt{5}$ ，点 $M$ 在 $P D$ 上，点 $N$ 为 $B C$ 的中点，且 $P B / /$ 平面 $M A C$ ．

(1)、证明： $C M / /$ 平面 $P A N$ ；

(2)、若 $P C = 3$ ，求平面 $P A N$ 与平面 $M A C$ 夹角的余弦值．

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2、如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔 $1 s$ 向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、当 $p = \frac{1}{2}$ 时，求 $5 s$ 后质点移动到点0的位置的概率；

(2)、记 $3 s$ 后质点的位置对应的数为 $X$ ，若随机变量 $X$ 的期望 $E (X) > 0$ ，求 $p$ 的取值范围．

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3、如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面 $A B C$ 为锐角三角形，点D，H，E分别为棱 $A A_{1}$ ， $B C$ ， $C_{1} A_{1}$ 的中点，且 $B C = 2 B_{1} C_{1} = 2$ ， $A C + A B = 4$ ；侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为 $\frac{7 \sqrt{3}}{6}$ ，则下列说法可能但不一定正确的是（）

A、该三棱台的体积最小值为 $\frac{7}{4}$ B、 $D H = \frac{\sqrt{11}}{2}$ C、 $V_{E - A D H} = \frac{1}{28} V_{A B C - A_{1} B_{1} C_{1}}$ D、 $E H \in (\frac{3 \sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{21}}{4})$

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4、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，直线 $l : y = x - \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ 与 $E$ 交于 $A 、 B$ 两点，且 $\vec{O A} + \vec{O B} = (2 λ, - λ) (λ \neq 0)$ ．则椭圆 $E$ 的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5、如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V, E$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，平面 $A B_{1} E$ 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（）

A、 $\frac{7}{24} V$ B、 $\frac{7}{17} V$ C、 $\frac{7}{15} V$ D、 $\frac{1}{2} V$

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6、已知向量 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 是平面上两个不共线的单位向量，且 $\vec{A B} = {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}$ ， $\vec{B C} = - 3 {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}$ ， $\vec{D A} = 3 {\vec{e}}_{1} - 6 {\vec{e}}_{2}$ ，则（）

A、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线 B、 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线 C、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三点共线 D、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点共线

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7、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(0, 1)$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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8、如果数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = 0$ 且 $|a_{1}| + |a_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |a_{n}| = 3 (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，则称数列为“ $n$ 阶万物数列”．

(1)、若某“4阶万物数列” $\{a_{n}\}$ 是等比数列，求该数列的各项；

(2)、若某“9阶万物数列” $\{a_{n}\}$ 是等差数列，求该数列的通项公式；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为“ $n$ 阶万物数列”，求证： $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + n a_{n} \geq \frac{3 - 3 n}{2}$ ．

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x + a$ ，

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个零点 $x_{1}, x_{2}$
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明： $a < \frac{e^{x_{1}} + e^{x_{2}}}{4}$ ．

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10、某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购买机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用300元，另外，实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次60元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修费用720元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，根据大数据统计显示，每台机器在三年使用期内的维修次数可能是4次，5次或6次，其概率分别是 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{6}$ ．记X表示2台机器在三年使用期内的维修次数，n表示购买2台机器时，一次性购买的维修服务次数．

(1)、求X的分布列；

(2)、以机器维修所需费用的期望值为决策依据，在 $n = 9$ 和 $n = 10$ 之中选取其一，应选用哪个？

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11、已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列，其中 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{13}$ 成等比数列，且 $a_{2} = 3$ ，数列 $a_{n}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及其前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{S_{n} \cdot S_{n + 1}}}$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、设集合 $M = \{m | m = a_{n}, m < 60\}$ ，求集合M中所有元素的和．

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12、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + x + 1$ ，当 $x = 1$ 时， $f (x)$ 取得极值1．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若对任意的 $x \in [- 2, 2]$ 都有 $f (x) < c$ 成立，求c的取值范围．

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13、甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第3次传球后球在乙手中的概率为，第n次传球后球在乙手中的概率为．

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14、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前5项和为10，前10项和为50，则这个数列的前15项和为.

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15、在 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的二项展开式中，常数项是（用数字作答）

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16、已知函数 $f (x) = (x - 1) \ln x - x - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x + y + 1 = 0$ B、函数 $f (x)$ 存在唯一的极小值点 C、函数 $f (x)$ 的极小值大于 $- 2$ D、函数 $f (x)$ 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数

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17、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第 $n$ 行从左到右的数字之和记为 $a_{n}$ ，如 $a_{1} = 1 + 1 = 2$ ， $a_{2} = 1 + 2 + 1 = 4$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120 B、 $S_{9} = 2046$ C、在“杨辉三角”中，从第2行开始到第 $n$ 行，每一行从左到右的第3个数字之和为 $C_{n + 1}^{3}$ D、 $\{\frac{2 a_{n}}{S_{n} \cdot S_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n + 2} - 2}$

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18、某学院派出甲、乙、丙、丁四名老师带队去A，B，C，D四个地区参加社会实践活动，每名老师只能去一个地区，则下列说法正确的是（）

A、若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法 B、若恰有一个区无人去，则共有36种不同的安排方法 C、若甲不去A区，且每个区均有人去，则共有18种不同的安排方法 D、若A区只能是甲去或乙去，且每个区均有人去，则共有16种不同的安排方法

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19、已知 $0 < a < 5$ 且 $a^{2} \ln 5 = 25 \ln a$ ， $0 < b < 4$ 且 $b^{2} \ln 2 = 8 \ln b$ ， $0 < c < 3$ 且 $c^{2} \ln 3 = 9 \ln c$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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20、若函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 4 \ln x$ 在区间 $(m, m + 1)$ 上不单调，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $[1, 2]$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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