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相关试卷

1、已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若 $P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} = 5$ ，则PA的最大值为．

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a^{2} + c^{2} + a c = b^{2}$ ， $∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点D，且 $B D = 4$ ，则 $a + 4 c$ 的最小值为．

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3、如图所示，长方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的边长 $O^{'} A^{'} = 2$ ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是．

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4、关于函数 $f (x) = |\sin x| + |\cos 2 x|$ （ $x \in R$ ），如下结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的值域是 $(0, 2]$ D、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ 上单调递减

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5、已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线 $A B$ 长为2， $E$ 为母线 $A B$ 中点，则下列结论正确的是（）

A、圆台的高为2 B、圆台的侧面积为 $6 π$ C、圆台外接球的体积是 $\frac{32 π}{3}$ D、在圆台的侧面上，从 $C$ 到 $E$ 的最短路径的长度为5

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6、对于 $△ A B C$ ，有如下说法，其中正确的是（）

A、满足条件 $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 1$ ， $B = 30^{\circ}$ 的三角形共有两个 B、若 $\sin A = \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形 C、若 $\cos^{2} A + \cos^{2} B + \sin^{2} C < 2$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则不等式 $\sin A > \cos B$ 恒成立

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |l n (x + 1)|, & x > - 1 \\ - x^{2} - 4 x - 3, & x \leq - 1 \end{matrix}$ ，若函数 $y = 2 f^{2} (x) + 3 a f (x) + 1 - 2 a$ 有6个不同的零点，则实数a的取值可以是（）

A、 $- 3$ B、3 C、 $- e^{2}$ D、 $e^{2}$

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8、雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（）

A、 $50 \sqrt{2}$ 米 B、50米 C、 $25 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ 米 D、 $50 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 米

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9、若平面向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{p}$ 均是非零向量，则“ $(\vec{m} \cdot \vec{n}) \vec{p} = \vec{m} (\vec{n} \cdot \vec{p})$ ”是“向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{p}$ 共线”的（）

A、充要条件 B、充分且不必要条件 C、必要且不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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10、下列说法正确的是（）

A、过空间中的任意三点有且只有一个平面 B、四棱柱各面所在平面将空间分成27部分 C、空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面 D、若直线a在平面 $α$ 外，则平面 $α$ 内一定存在直线与a平行

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11、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，且 $|m \vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ D、0

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12、已知 $(2 + i) z = i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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13、用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、直角三角形

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14、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{0, 3, 4\}$ ， $B = \{0, 1, 2\}$ ，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{1, 2\}$

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15、已知函数 $f (x) = (a x^{2} + x + a) e^{- x}$ $(a \in R)$ .
（1）若 $a \geq 0$ ，函数 $f (x)$ 的极大值为 $\frac{5}{e}$ ，求实数 $a$ 的值；
（2）若对任意的 $a \leq 0$ ， $f (x) \leq b \ln (x + 1)$ ，在 $x \in [0, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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16、厂家在产品出厂前，需对产品做检验，第一次检测厂家的每件产品合格的概率为 $0.5$ ，如果合格，则可以出厂；如果不合格，则进行技术处理，处理后进行第二次检测.每件产品的合格率为 $0.8$ ，如果合格，则可以出厂，不合格则当废品回收.
$(1)$ 求某件产品能出厂的概率；
$(2)$ 若该产品的生产成本为 $800$ 元/件，出厂价格为 $1500$ 元/件，每次检测费为 $100$ 元/件，技术处理每次 $100$ 元/件，回收获利 $100$ 元/件.假如每件产品是否合格相互独立，记 $ξ$ 为任意一件产品所获得的利润，求随机变量 $ξ$ 的分布列与数学期望.

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $C D P$ ， $M$ 为线段 $P D$ 的中点，且 $P A = P D = 2$ .
（1）求证： $P B //$ 平面 $A C M$ ；
（2）求平面 $P A C$ 与平面 $M A C$ 所成锐二面角的余弦值.

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18、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} c = \sqrt{3} a \cos B - a \sin B$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．

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19、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{n + 1} = S_{n} + 1$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} (a_{n} + n)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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20、已知双曲线方程是 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线右支交于 $C$ ， $D$ 两点（其中 $C$ 点在第一象限），设点 $M$ 、 $N$ 分别为 $△ C F_{1} F_{2}$ 、 $△ D F_{1} F_{2}$ 的内心，则 $|M N|$ 的范围是.

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