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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 2 a \ln x + \frac{3}{4} x^{2} - (a + 3) x$ （ $a \in R$ ）.

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + b$ ，求a和b的值；

(2)、当 $a \neq 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = - \frac{9}{4}$ 时，证明：对于任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, 1)$ ，有 $f (x_{1} + x_{2}) < f (x_{1}) + f (1 + x_{2})$ .

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2、已知 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{7} = 70$ ， $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $b_{2} = a_{6}$ ， $b_{2} + b_{3} = 80$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、求 $\sum_{i = 1}^{2^{n}} {(- 1)}^{i} a_{i}^{2}$ ；

(3)、记 $c_{n} = b_{2 n} + \frac{1}{b_{n}}$ ，若 $λ \geq \frac{a_{n} - 4}{c_{n}^{2} - c_{2 n}}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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3、已知直线 $x = 2$ 经过椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、椭圆C的下顶点为A，P是椭圆C上一动点，直线AP与圆O： $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 相交于点M（异于点A），M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q（异于点A）.设直线MN，PQ的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，试探究当 $k_{2} \neq 0$ 时， $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值，并说明理由.

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面ABCD， $A B ∥ C D$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， E是AD的中点， $A D = \frac{2 \sqrt{3}}{3} C D$ $= \sqrt{3} A B = 2$ ， $P D = 3$ .

(1)、证明： $C E ⊥ P B$ ；

(2)、求平面PEC与平面BEC的夹角的余弦值；

(3)、求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $c - a = 1$ ， $b = \sqrt{21}$ ，内角A，B，C成等差数列.

(1)、求a的值及 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $\tan (2 A + B)$ 的值.

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6、对于任意 $x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较小者，记 $M (x) = \min \{f (x), g (x)\}$ ，设函数 $f (x) = e^{x - 1} + x - 2$ ， $g (x) = - x^{2} + (a - 1) x - a$ .若对于任意 $x \in R$ ，都有 $M (x) \leq 0$ ，则a的取值范围是.

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7、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，O为对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点，M为直线 $A E$ 与 $D C$ 的交点，N为直线 $A F$ 与 $B D$ 的交点，若 $A D = 3$ ， $A B = 4$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，且 $\vec{D E} = \frac{1}{2} \vec{D O}$ ， $\vec{C F} = \frac{1}{2} \vec{C B}$ ， $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ + μ =$ ， $\vec{A M} \cdot \vec{A N} =$ .

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8、甲箱中有3个黑球，2个蓝球和3个红球，乙箱中有4个黑球，2个蓝球和2个红球（除颜色外，球的大小、形状、质地完全相同）．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1球．分别以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 表示由甲箱取出的球是黑球，蓝球和红球的事件，以 $B$ 表示从乙箱取出的球是红球的事件，则 $P (B | A_{1}) =$ ， $P (B) =$ ．

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9、已知抛物线C： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的焦点F恰为圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y - 24 = 0$ 的圆心，点P是C与圆的一个公共点，则点F到直线OP的距离为.

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10、已知 ${(2 x + 1)}^{n}$ 的展开式中，各项系数之和为 $81$ ，则二项式系数之和为.

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11、设F是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点，O为坐标原点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若 $△ F O H$ 的内切圆与x轴切于点B，且 $\vec{B F} = 3 \vec{O B}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 + 2 \sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{3 + 2 \sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{4 + \sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{5 + \sqrt{7}}{3}$

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12、若函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x - 2 \cos^{2} ω x + 1$ （ $ω > 0$ ），①函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω = 2$ ；②当 $ω = 2$ 时， $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{6}]$ 上单调递增；③当 $ω = 2$ 时， $(\frac{π}{24}, 0)$ 为函数 $f (x)$ 的一个对称中心；④若 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上有且只有两个零点，则 $ω \in (\frac{7}{4}, \frac{13}{4})$ .其中正确结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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13、已知 $2^{a} = 3^{b} = m$ （ $a b \neq 0$ ），且 $2 a b = a + b$ ，则m等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、6

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14、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{4} a_{5} = 3$ ， $a_{3} + a_{6} = 4$ ，则 $\frac{S_{6}}{S_{3}} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15、已知函数 $f (x) = x |x| - 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数，递减区间是 $(- \infty, - 1)$ B、 $f (x)$ 是奇函数，递减区间是 $(- 1, 1)$ C、 $f (x)$ 是偶函数，递增区间是 $(1, + \infty)$ D、 $f (x)$ 是偶函数，递增区间是 $(- \infty, - 1)$

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16、已知 $α$ ， $β$ 是两个平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $l ⊥ α$ ，则 $m ∥ l$ B、若 $m ∥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ∥ α$ D、若 $α ∥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$

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17、已知集合 $A = \{x \in N |x < 3\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 1, 2\}$

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18、已知抛物线的方程 $P : x^{2} = 4 y$ ，现将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转 $90^{\circ}$ 、 $180^{\circ}$ 、 $270^{\circ}$ 后得另外三条曲线，四条曲线相交围成如图阴影区域的封闭图形， $A$ 、 $B$ 分别为曲线在第一象限和第四象限的交点．

(1)、求 $| A B |$ 的长度．

(2)、求直线 $x + y = t$ 被第一象限封闭图形截的弦长最大值．

(3)、求证：阴影区域的面积不大于32．

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19、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $B C$ 的中点， $N$ 是棱 $D D_{1}$ 上的动点（含端点）．

(1)、若 $N$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，求过 $A$ ， $M$ ， $N$ 的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面所得的截面图形的周长．

(2)、若 $C N$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成的角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的取值范围．

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 为椭圆 $C$ 的右顶点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点， $P$ 为椭圆 $C$ 上与椭圆顶点不重合的动点，直线 $P A$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，直线 $P B$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ．

(1)、求 $|A M| \cdot |B N|$ 的值．

(2)、求 $△ P A B$ 面积最大值．

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