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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = \frac{n}{n + 2} a_{n + 1}$ ，设 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ．

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{S_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = B B_{1} = 6$ ， $D$ 、 $E$ 分别为 $A C$ 、 $B B_{1}$ 的中点，设平面 $A_{1} D E$ 交棱 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、求 $B F$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - D F - C$ 的平面角的正切值．

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3、若 $x, y, z > 0$ ，且 $x^{2} + x y + 2 x z + 2 y z = 4$ ，则 $2 x + y + 2 z$ 的最小值是．

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4、如图， $∠ P O Q = \frac{π}{6}$ ，点A，B为射线OP上两动点，且 $A B = 2$ ，若射线OQ上恰有一个点C，使得 $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，则此时OA的长度为．

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5、 ${(x - 1)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为．（用数字作答）

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6、平行四边形ABCD中 $A B = 2 A D = 2$ ，且 $∠ B A D = 60 °$ ， AB、CD的中点分别为E、F，将 $△ A D E$ 沿DE向上翻折得到 $△ P D E$ ，使P在面BCDE上的投影在四边形BCDE内，且P到面BCDE的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，连接PC、PF、EF、PB，下列结论正确的是（）

A、 $P D = P F$ B、 $P D ⊥ B C$ C、三棱锥 $P - D E F$ 的外接球表面积为 $3 π$ D、点Q在线段PE上运动，则 $| D Q | + | Q B |$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

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7、已知随机变量 $X \sim N (4, 2)$ ，若 $P (X > 6) = a$ ， $P (4 < X < 6) = b$ ，则（）

A、 $a + b = \frac{1}{2}$ B、 $P (X < 2) = a$ C、 $E (2 X + 1) = 4$ D、 $D (2 X + 1) = 8$

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8、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (4, λ)$ ，则（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ = 6$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ = \frac{8}{3}$ C、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的投影向量为 $(\frac{18}{13}, \frac{27}{13})$ ，则 $λ = \frac{1}{3}$ D、若 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 24$ ，则 $λ = 1$

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9、已知函数 $f (2 x + 1)$ 为偶函数，若函数 $g (x) = f (x) + 2^{1 - x} + 2^{x - 1} - 5$ 的零点个数为奇数个，则 $f (1) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、0

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10、已知直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，以线段 $A B$ 为直径的圆过椭圆的左焦点 $F_{1}$ ，若 $|F_{1} A| = 2 |F_{1} B|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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11、已知函数 $f (x) = \sin (x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称，若当 $x \in [m, \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的最小值是 $- 1$ ，则 $m$ 的最大值是（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $- \frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{π}{6}$

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12、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 $2 b \cos (B + C) - a \cos C = c \cos A$ ，则A等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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13、已知实数 $1 < 2 < x < y$ ，若 $x y = 36$ ，且这四个数的中位数是3，则这四个数的平均数是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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14、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m ∥ α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $n ∥ β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ∥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α \cap β = m$ ， $n ∥ α$ ， $n ∥ β$ ，则 $m ∥ n$

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15、已知集合 $A = \{x| - 2 < x < 2\}$ ， $B = \{x| y = \ln x\}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(- 2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2)$

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16、若 $f (x), g (x)$ 是定义在 $[a, b]$ 上的增函数，其中 $[a, b] \subseteq [0, + \infty)$ ，存在函数 $M (x) = {(f (x))}^{2}$ ， $N (x) = {(m \cdot g (x))}^{2}$ ，且函数 $M (x)$ 图像上存在两点 $A, B$ ， $N (x)$ 图像上存在两点 $C, D$ ，其中 $A, C$ 两点横坐标相等， $B, D$ 两点横坐标相等，且 $\vec{A B} ∥ \vec{C D}$ ，则称 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可以对 $g (x)$ 进行“ $m$ 型平行追逐”，即 $f (x)$ 是 $g (x)$ 在 $[a, b]$ 上的“ $m$ 型平行追逐函数”. 已知 $f (x) = 1 - \frac{a}{4^{x} + 1}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x) = 2^{x} + b \cdot 2^{- x}$ 是定义在 $R$ 上的偶函数．

(1)、求满足 $f (x) g (x) = \frac{8}{3}$ 的 $x$ 的值；

(2)、设函数 $k (x) = n (f (x) g (x)) - {(g (x))}^{2} + 2$ ，若不等式 $k (x) < 0$ 对任意的 $x \in [1, + \infty)$ 恒成立，求实数 $n$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 是 $g (x)$ 在 $[0, \frac{1}{2}]$ 上的“ $m$ 型平行追逐函数”，求正数 $m$ 的取值范围．

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17、已知向量 $\vec{a} = (\cos x, - 1)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \sin x, - \frac{1}{2})$ ，函数 $f (x) = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} - 2$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、已知 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足 $f (B) = - 1$ ，如图．
（ⅰ）若 $c = 3 a = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（ⅱ）若 $∠ C A M = 30^{\circ}$ ， $∠ B C M = 120^{\circ}$ ， $C M = \sqrt{3} B C$ ，求 $∠ A C B$ 的值．

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18、如图，在△ABC中，已知 $A C = 2$ ， $A B = 3$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，且 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ．

(1)、若 $\vec{A G} = λ \vec{A C} + μ \vec{A B}$ ，求 $λ + 2 μ$ 的值

(2)、求 $\cos ∠ A G C$ ．

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19、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是方程 $z^{2} - z + 1 = 0$ 的解，复平面内表示 $z_{1}$ 的点A在第四象限，O是原点．

(1)、点A关于虚轴的对称点为点B，求向量 $\vec{O B}$ 对应的复数；

(2)、将复数 $z_{2}$ 对应的向量 $\vec{O C}$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 得到向量 $\vec{O D}$ ， $\vec{O D}$ 对应的复数为 $z_{3}$ ，求 ${z_{2}}^{2} + \frac{i}{z_{3}}$ 的值；

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20、陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中 $B, C$ 分别是上、下底面圆的圆心，且 $A C = 3 A B = 3 B D = 9 cm$ ，现有一箱这种的陀螺共重 $6300 g$ （不包含箱子的质量），陀螺的密度为 $\frac{5}{6} g / {cm}^{3}$ （ $π$ 取3）

(1)、试问该箱中有多少个这样的陀螺？

(2)、如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少 ${cm}^{2}$ 的颜料？

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