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相关试卷

1、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是空间中不同的直线， $α$ ， $β$ 是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a ⊥ b$ ， $b ⊥ c$ ，则 $a ∥ c$ B、若 $a$ 与 $b$ 异面，则至多有一条 $c$ 与 $a$ ， $b$ 都垂直 C、若 $α // β$ ， $b ⊥ β$ ， $c ⊥ b$ ，则 $c$ 一定平行于 $α$ 和 $β$ D、若 $c \subset α$ ， $b \subset β$ ， $α ⊥ β$ ，则存在 $a$ 同时垂直 $c$ ， $b$

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a \ln x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，试求函数图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），且不等式 $(m^{2} - 1) x_{2} > m f (x_{1})$ 恒成立，其中 $m \in Z$ ，试求整数 $m$ 的取值范围.

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3、PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量 $x$ （单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度 $y$ （单位： ${μg/m}^{3}$ ）．检测人员采集了50天的数据，制成 $2 \times 2$ 列联表（部分数据缺失）：

燃油车日流量 $x < 1500$
燃油车日流量 $x \geq 1500$
合计
PM2.5的平均浓度 $y < 100$
16

24
PM2.5的平均浓度 $y \geq 100$

20

合计
22

(1)、完成上面的 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于 $100 {μg/m}^{3}$ 与燃油车日流量小于1500辆有关联？

(2)、经计算得 $y$ 与 $x$ 之间的回归直线方程为 $\hat{y} = 0.12 x - 73.86$ ，且这50天的燃油车的日流量 $x$ 的标准差 $s_{x} = 249$ ， PM2.5的平均浓度 $y$ 的标准差 $s_{y} = 36$ ．若相关系数 $r$ 满足 $|r| \geq 0.75$ ，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值．
①判断该回归直线方程是否有价值；
②若这50天的燃油车的日流量 $x$ 满足 $\sum_{i = 1}^{50} x_{i}^{2} = 1.23 \times 10^{8}$ ，试求这50天的PM2.5的平均浓度 $y$ 的平均数 $\bar{y}$ （利用四舍五入法精确到0.1）．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
6.636
7.879
10.828
回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．
参考数据： $\frac{1}{50} \times 1.23 = 0.0246$ ， $249^{2} = 62001$ ， $\sqrt{2397999} \approx 1548.55$ ．

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4、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平 $B C D, A B = A D = 3, B C = C D = 4$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ B D$ ．

(2)、若 $B D = 4 \sqrt{2}, E$ 为 $C D$ 的中点，求直线 $A E$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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5、已知 $f (x) = 2 x - \frac{2}{x} + \ln x$ ，若实数m，n满足 $f (m) + f (\frac{1}{n^{2}}) = 0$ ，则 $4 m + \frac{1}{n^{2}}$ 的最小值为

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6、若 $3 \sin (π - α) + 4 \cos α = 0$ ，则 $\sin 2 α =$ ．

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7、以下说法正确的是（）

A、把8个相同的小球放到编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有84种 B、 $C_{4}^{3} {+C}_{5}^{3} + \cdot \cdot \cdot {+C}_{9}^{3} =210$ C、 ${(2 x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中系数最大的项为 $240 x^{2}$ D、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数，当 $x > 0$ 时，若 $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，则 $e f (ln 2) > ln 2 f (e)$

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8、已知函数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{3})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{2π}{3}$ B、点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 为 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、若 $f (x) = a (a \in R)$ 在 $x \in [- \frac{π}{18}, \frac{π}{9}]$ 上有两个实数根，则 $\frac{\sqrt{3}}{2} \leq a < 1$ D、若 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则函数 $y = f (x) + f^{'} (x)$ 的最大值为 $\sqrt{10}$

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9、下列命题正确的是（）

A、数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B、已知随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，若 $D (2 X + 1) = 5$ ，则 $n = 5$ C、对于随机事件A，B，若 $P (A ∣ B) = P (A)$ ， $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则A与B相互独立 D、已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |{log}_{2} x|, 0 < x \leq 2 \\ x^{2} - 8 x + 13, x > 2 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有4个不同的实根 $x_{1}$ 、 $x_{2} 、 x_{3} 、 x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{(x_{3} + x_{4}) x_{3}}{x_{1} x_{2}} =$ （）

A、 $(16, 32 - 8 \sqrt{3})$ B、 $(16, 32)$ C、 $(32 + 8 \sqrt{3}, 48)$ D、 $(32, 48)$

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11、已知 $a = \frac{1}{2} + 2 ln 2$ ， $b = \frac{1}{3} + ln 9$ ， $c = \frac{1}{e} + 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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12、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， $p$ ： $b \cos B = c \cos C$ ， $q$ ： $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{B C}|$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、若全集 $U = R$ ， $A = \{x| x < 2\}$ ， $B = \{y| y = e^{x}, x \in R\}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $B \subseteq ∁_{U} A$ D、 $∁_{U} A \subseteq B$

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14、已知函数 $f (x) = x ln x - x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若直线 $y = a x + b$ 是曲线 $y = f^{'} (x) + e x$ 的切线，求 $a + b$ 的最小值；

(3)、证明： $ln \sqrt[3]{2} + ln \sqrt[8]{3} + \dots + ln ^{n^{2} - 1} \sqrt{n} > \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} (n \in N^{*}, n \geq 2)$ .

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 2$ ， $a \in R$ ， $e$ 是自然对数的底数.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) + 2 = 0$ 有两个不等实根，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 1$ ， $k$ 为整数，且当 $x > 0$ 时， $\frac{k - x}{x + 1} f^{'} (x) < 1$ 恒成立，求 $k$ 的最大值.

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16、已知各项为正的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = \frac{1}{4} a_{5} = 12$ ，设 $\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\} \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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17、已知 ${(x - \frac{a}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、若展开式的二项式系数和为256，求 $n$ 的值；

(2)、当 $n = 6$ 时，二项式的展开式中 $x ^{3}$ 的系数为 $A$ ，常数项为 $B$ ，若 $B = 4 A$ ，则求 $a$ 的值；

(3)、当 $n = 6 ， a = - 2$ 时，求二项式的展开式中系数最大的项.

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18、已知 $a > 1$ ，若对于任意的 $x \in [\frac{1}{4}, + \infty)$ ，不等式 $\frac{1}{4 x} - x + ln 4 x \leq \frac{1}{a e^{x}} + ln a$ 恒成立，则 $a$ 的最小值为.

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19、有4名男生和2名女生共6人组成两个志愿者队伍去两个不同的场馆，要求每队既有男生又有女生，则不同的分配方法有种．（用数字表示）

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20、正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， a_{1} a_{3} a_{5} = 64 ， a_{4} + a_{5} = 24$ ，则 $S_{10} =$ .

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	燃油车日流量 $x < 1500$	燃油车日流量 $x \geq 1500$	合计
PM2.5的平均浓度 $y < 100$	16		24
PM2.5的平均浓度 $y \geq 100$		20
合计	22

$α$	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	6.636	7.879	10.828