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相关试卷

1、已知 $z \in C$ ，且 $|z - 2 - 2 i| = 1$ ，则 $|z + 2 - 2 i|$ 的最小值是（）

A、 $2$ B、 $5$ C、 $4$ D、 $3$

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2、 $△ O^{'} ^{'} A^{'} ^{'} B^{'} ^{'}$ 是 $△ O A B$ 在斜二测画法下的直观图，其中 $O^{'} ^{'} B^{'} ^{'} = 2 O^{'} A^{'} = 4$ ，则 $△ O A B$ 的面积是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 4$ ， $b = 4 \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，则角 $B$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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4、已知 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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5、定义向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 的“伴随函数”为. $f (x) = a sin x + b cos x ；$ 函数. $f (x) = a sin x + b cos x$ 的“伴随向量”为 $\vec{O M} = (a, b) .$

(1)、在 $△ O A B$ 中，已知 $\vec{O A} = (6, - 3) ， \vec{O B} = (3, - 3) ，$ 点M 为边AB上的点，且 $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{O A} + λ \vec{O B} ，$ 求出向量 $\vec{O M}$ 的“伴随函数” $f (x)$ ，并直接写出 $f (x)$ 的最大值 $M$ ；

(2)、已知向量 $\vec{a} = (- 2 sin \frac{x}{2}, 2) ， \vec{b} = (\sqrt{3} cos \frac{x}{2}, 1 - 2 {sin}^{2} \frac{x}{2}) ，$ 函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} ，$ 求函数 $f (x)$ 的“伴随向量” $\vec{O M}$ 的坐标；

(3)、已知 $|\vec{O M}| = |\vec{O N}| = 1 ，$ 向量 $\vec{O M} 、 \vec{O N}$ 的“伴随函数”分别为 $f (x)$ 、 $g (x)$ ，设 $\vec{O P} = λ \vec{O M} + μ \vec{O N} (λ > 0, μ > 0)$ 且 $\vec{O P}$ 的“伴随函数”为 $h (x)$ ，其最大值为m. 求证：向量 $\vec{O M} = \vec{O N}$ 的充要条件为 $m = λ + μ .$

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6、在 $△ A B C$ 中，满足 $c + \sqrt{3} a \sin B - b - a \cos B = 0$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{19}$ ，边 $B C$ 上的中线， $A D = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的周长和面积.

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7、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、若 $P C$ 与底面 $A B C D$ 所成的角为45°；
①求点B到平面 $P C D$ 的距离；
②求二面角 $D - P C - A$ 的余弦值.

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8、已知向量 $\vec{a} = (2, m)$ ， $\vec{b} = (1 - m, - 6) (m \in R)$ ．
（1）若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，求实数m的值；
（2）若 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 为钝角，求实数m的取值范围．

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9、已知点 $A (0, 1), B (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}), C (\frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$ ，点 $P (x, y)$ 是 $△ A B C$ 内(包含边界)一动点，请你结合所学向量的知识，求出 $\frac{\sqrt{3} x + y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的最大值为.

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10、为了测量某建筑物的高度AB，可以选与底部 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ．现测得 $∠ B C D = 30^{°}, ∠ B D C = 120^{°}$ ， $C D = 100$ 米，并在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{°}$ ，则该建筑物的高度 $A B =$ 米．

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11、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点，沿 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，点 $A$ 折至 $A_{1}$ 处( $A_{1} \notin$ 平面 $A B C D$ )，若 $M$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点，平面 $A_{1} D E$ 与平面 $D E B C$ 所成二面角 $α$ ，直线 $A_{1} E$ 与平面 $D E B C$ 所成角为 $β$ ，则在 $△ A D E$ 折起的过程中，下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使得 $B M ⊥ A_{1} D$ B、 $△ A_{1} E C$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $sin α = \sqrt{2} sin β$ D、三棱锥 $A_{1} - E D C$ 体积最大时，三棱锥 $A_{1} - E D C$ 的外接球的表面积 $16 π$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点， $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ， $A D$ 与 $B E$ 交于点 $F$ ，若 $\vec{C F} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则下面对于 $x, y$ 的描述正确的是（）

A、 $2 x + 3 y = - 1$ B、 $2 x - 3 y = 1$ C、 $x - y = 1$ D、 $x + y = - 1$

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13、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题，（）

A、若 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C}$ $，$ 则△ABC一定是等边三角形 B、若 $A = 60^{\circ}$ ， $a = 3$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，则△ABC有两解 C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则△ABC一定是等腰三角形 D、若 $\tan A + \tan B + \tan C > 0$ ，则△ABC一定是锐角三角形

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 b = a + c$ ，设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} S$ ，则此三角形的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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15、已知一个圆锥的高为6，底面半径为8，现在用一个过两条母线的平面去截圆锥，得到一个三角形，则这个三角形面积的最大值为（）

A、100 B、50 C、48 D、24

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16、祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为 $R$ 的圆柱与半径为 $R$ 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为 $R$ ，高为 $R$ 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面 $α$ 去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面 $α$ 去截半径为 $R$ 的半球，且球心到平面 $α$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2} R$ ，则平面 $α$ 与半球底面之间的几何体的体积是（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{24} π R^{3}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{24} π R^{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{12} π R^{3}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{12} π R^{3}$

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 2 \sqrt{3}$ ，若 $a \sin B = b \sin (A + \frac{π}{3})$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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18、下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ 则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ 则 $\vec{a} / / \vec{c}$ C、若 $\vec{m} = \vec{n}$ ， $\vec{n} = \vec{k}$ 则 $\vec{m} = \vec{k}$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ $，$ 则 $\vec{c} = \vec{b}$

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19、复数 $z = \frac{\sqrt{3} - i}{{(1 + i)}^{2}}$ 的模|z|是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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20、如图，在直角梯形ABCD中， $B C ∥ A D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B C = 2$ ， $A D = 3$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，边AD上一点E满足 $D E = 1$ ，现将 $△ A B E$ 沿BE折起到 $△ A_{1} B E$ 的位置，使平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面BCDE，如图所示.

(1)、在棱 $A_{1} C$ 上是否存在点F，使直线 $D F / /$ 平面 $A_{1} B E$ ，若存在，求出 $\frac{A_{1} F}{A_{1} C}$ ，若不存在，请说明理由；

(2)、求二面角 $A_{1} - B C - D$ 的平面角的正切值.

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