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相关试卷

1、智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下. 用频率估计概率，解答下列问题：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
智能体温计测温	36.6	36.6	36.5	36.5	36.5	36.4	36.2	36.3	36.5	36.3
水银体温计测温	36.6	36.5	36.7	36.5	36.4	36.4	36.2	36.4	36.5	36.4
序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
智能体温计测温	36.3	36.7	36.2	35.4	35.2	35.6	37.2	36.8	36.6	36.7
水银体温计测温	36.2	36.7	36.2	35.4	35.3	35.6	37	36.8	36.6	36.7

（1）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X为使用智能体温计测温“测温准确”的人数，求X的分布列与数学期望值；

（2）医学上通常认为，人的体温不低于 ${37.3}^{0} C$ 且不高于 $38^{0} C$ 时处于“低热”状态. 该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是 ${37.3}^{0} C$ ，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由.

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2、若数集 $S$ 的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集 $S$ 的超子集．已知集合，记 $A_{n} = \{1, 2, 3 \dots, n\} (n \in N^{*}, n \geq 3)$ ，记 $A_{n}$ 的超子集的个数为 $a_{n}$ ，当 $A_{n}$ 的超子集个数为221个时， $n =$ ．

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3、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别是 $a, b, c$ ，且 $A = 2 B, b \neq c, D$ 为 $B C$ 边上的中点，且 $A D = \sqrt{2} c$ ，则 $cos A =$ ．

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4、已知函数 $f (x) = 2 a e^{2 x} - x^{2}$ 有三个零点，求 $a$ 的取值范围．

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5、如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为 $2 \sqrt{3}$ ，梯形 $A B C D$ 内接于下底面圆， $C D$ 是直径， $A B ∥ C D, A B = 6$ ，过点 $A, B, C, D$ 向上底面作垂线，垂足分别为 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是线段 $C C_{1}, A A_{1}$ 上的动点，点 $Q$ 为上底面圆内（含边界）任意一点，则（）

A、若平面 $D M N$ 交线段 $B B_{1}$ 于点 $R$ ，则 $N R ∥ D M$ B、若平面 $D M N$ 过点 $B_{1}$ ，则直线 $M N$ 过定点 C、 $△ A B Q$ 的周长为定值 D、当点 $Q$ 在上底面圆周上运动时，记直线 $Q A, Q B$ 与下底面所成角分别为 $α, β$ ，则 $\frac{1}{\tan^{2} α} + \frac{1}{\tan^{2} β}$ 的取值范围是 $[\frac{3}{4}, \frac{9}{2}]$

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6、设 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线 $l : x = t y + 1$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $|A B| \geq 4$ B、 $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{O B}$ 可能大于 $0$ C、若 $P (2, 2)$ ，则 $|P A| + |A F| \geq 3$ D、若在抛物线上存在唯一一点 $Q$ （异于 $A$ 、 $B$ ），使得 $Q A ⊥ Q B$ ，则 $t = \pm \sqrt{3}$

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7、已知实数 $x, y$ 满足 $e^{x} = y ln x + y ln y$ ，则满足条件的 $y$ 最小正整数为（）．

A、1 B、3 C、5 D、7

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，若 $a_{n + 1} = \frac{(n + 1) a_{n}}{n + 1 + a_{n}}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{a_{n + 2}} - \frac{1}{a_{n}} < \frac{2}{\sqrt{(n + 2) (n + 1)}}$ C、 $\frac{1}{a_{2 n}} - \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{1}{2}$ D、 $a_{n} \cdot \ln (n + 1) > 1$

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9、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， O为坐标原点，过 $F_{1}$ 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且 $|D F_{2}| = 2 \sqrt{2} |O D|$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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10、已知四边形ABCD满足 $\overset{⃑}{A D} = \frac{1}{4} \overset{⃑}{B C}$ ，点M满足 $\overset{⃑}{D M} = \overset{⃑}{M C}$ ，若 $\overset{⃑}{B M} = x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A D}$ ，则x+y= （）

A、3 B、 $\frac{5}{2}$ C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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11、蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球. $2006$ 年 $5$ 月 $20$ 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，满足 $A B = C D = 5$ ， $B D = A C = 6$ ， $A D = B C = 7$ ，则该鞠的表面积为（）

A、 $55 π$ B、 $60 π$ C、 $63 π$ D、 $68 π$

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12、多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分. 若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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13、已知集合 $M = \{x |0 < \ln (x + 1) < 3\}$ ， $N = \{y |y = \sin x, x \in M\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $(- 1, 1]$ C、 $(0, 1]$ D、 $[0, 1]$

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C_{1} = B_{1} C_{1} = 3$ ， $A_{1} B_{1} = 4 \sqrt{2}$ ， D为 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B_{1} C / /$ 平面 $A C_{1} D$ .

(2)、若以 $A B_{1}$ 为直径的球的表面积为 $48 π$ ，求三棱锥 $B_{1} - A C_{1} D$ 的体积.

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15、若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，且对于任意不同的 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < λ |x_{1} - x_{2}|$ ，则称 $f (x)$ 为 $[a, b]$ 上的“ $λ$ 类函数”.

(1)、若 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + x$ ，判断 $f (x)$ 是否为 $[1, 2]$ 上的“2类函数”；

(2)、若 $f (x) = a (x - 1) e^{x} - \frac{x^{2}}{2} - x \ln x$ ，为 $[1, 2]$ 上的“2类函数”，求实数a的取值范围.

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16、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， O是坐标原点，过 $(4, 0)$ 的直线与E相交于A，B两点，满足 $O A ⊥ O B$ ．

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、若 $P (x_{0}, 2)$ 在抛物线E上，过 $Q (4, - 2)$ 的直线交抛物线E于M，N两点，直线 $P M$ ， $P N$ 的斜率都存在，分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值．

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17、2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚.某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格：
单位：人
市民
春节旅游意愿
愿意
不愿意
青年人
80
20
老年人
40
60

(1)、根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.

(2)、从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为 $X$ ，试求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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18、第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.

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19、在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $P F_{1}$ 的中点为 $Q$ ，若 $O Q ⊥ P F_{1}$ ， $P F_{1} = \sqrt{3} O P$ ，则椭圆离心率的值为．

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (2 x - 1)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 对称， $f (x + 1) = - f (x - 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小正周期为4 D、若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + \dots + f (20) = 0$

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市民	春节旅游意愿
市民	愿意	不愿意
青年人	80	20
老年人	40	60

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828