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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 1, x \leq 1 \\ x + \frac{4}{x} - 3, x ＞ 1 \end{array}$ ，若当 $x \in [m, n]$ 时， $1 \leq f (x) \leq 2$ ，则 $n - m$ 的最大值是（）

A、4 B、3 C、7 D、5

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2、“ $\frac{1}{x - 1} ＞ 1$ ”是“ $x < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、下列函数在定义域上为减函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = |1 - x|$ C、 $f (x) = 1 - 2^{x}$ D、 $f (x) = \log_{2} (x - 1)$

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4、已知集合 $A = (0, 1)$ ， $B = \{x |y = \sqrt{x - 1}\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $\{0\} \cup [1, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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5、南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第10项为．

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b， $c$ ，已知 $b \cos C = (4 a - c) \cos B$ ．

(1)、求 $\cos B$ ；

(2)、若 $a = 4, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{15}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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7、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $|3 \vec{b} - \vec{a}| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{13}$ D、5

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8、已知以点 $C$ 为圆心的圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - \frac{3}{a})}^{2} = a^{2} + \frac{9}{a^{2}} (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点N，O为坐标原点.（M，N与 $O$ 不重合）

(1)、求证： $△ M O N$ 的面积为定值；

(2)、设直线 $3 x + y - 3 = 0$ 与圆 $C$ 交于点A，B，若 $| O A | = | O B |$ ，求实数 $a$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，设P，Q分别是直线 $l : x + y + 4 = 0$ 和圆 $C$ 上的动点，求 $| P N | +$ |PQ|的最小值及此时点 $P$ 的坐标.

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9、已知 $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (1, - 3), B (2, 1), C (- 1, 4)$ .

(1)、求BC边上的高所在直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 过点 $C$ ，且点A，B到直线 $l_{2}$ 的距离相等，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1, 1)$ ， $\vec{c} = (- 1, x, 3)$ .

(1)、当 $|\vec{c}| = \sqrt{10}$ 时，若向量 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 垂直，求实数 $k$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{c}$ 与向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 共面，求实数 $x$ 的值.

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11、求满足下列条件的圆的标准方程.

(1)、圆心为 $(2, 3)$ ，经过点 $(1, - 1)$ ；

(2)、圆心在直线 $x = - 1$ 上，且与 $y$ 轴交于点 $A (0, 4), B (0, 2)$ .

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12、空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $2 x - y + z - 4 = 0$ ，直线 $l$ 是两平面 $2 x - y + 5 = 0$ 与 $x + 3 z - 3 = 0$ 的交线，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为.

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13、已知 $A (- 2, - 1, 1), B (2, 3, 3)$ ，则线段 $A B$ 的中点坐标为.

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14、下列圆中与圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 相切的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 4)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 1$

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15、已知直线 $l$ 过点 $(1, 3)$ ，且在 $x$ 轴上的截距是 $y$ 轴上的截距的3倍，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $3 x + y = 0$ B、 $x + 3 y - 10 = 0$ C、 $3 x + y - 6 = 0$ D、 $3 x - y = 0$

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16、已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (2, - 3, 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (3, 1, - 3)$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 的关系是（）

A、 $l \cap α = P$ B、 $l ⊥ α$ C、 $l / / α$ D、 $l \subset α$ 或 $l / / α$

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17、已知点 $A (3, 1), B (2, 3)$ ，若过点 $(1, - 1)$ 的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 4] \cup [1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1] \cup [4, + \infty)$ C、 $(0, 4]$ D、[1，4]

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18、已知圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 1 = 0$ 关于直线 $x + y - m = 0$ 对称，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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19、若直线 $l_{1}$ 的一个方向向量为 $\vec{n_{1}} = (1, 0, - 1)$ ，直线 $l_{2}$ 的一个方向向量为 $\vec{n_{2}} = (0, - 1, - 1)$ ，则直线 $l_{1}, l_{2}$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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20、在 $△ A B C$ 中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\frac{\sin A - \sin B}{\sin C} = \frac{a - c}{a + b}$ .

(1)、求角B的值；

(2)、若 $a : b = \tan A : \tan B$ ，判断 $△ A B C$ 的形状；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积S的取值范围.

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