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相关试卷

1、若 $α$ 是第三象限角，且 $\sin (α + β) \cos β - \sin β \cdot \cos (α + β) = - \frac{5}{13}$ ，则 $\tan \frac{α}{2}$ 的值为（）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- \frac{5}{13}$ D、 $\frac{5}{13}$

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2、如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ A C, A B = 15, A C = 20$ ， $M$ 是棱 $B C$ 上一点，且 $A M = 12$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A M$ ；

(2)、若 $P A = 10$ ，求 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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3、已知曲线 $C_{1} : y = sin 2 x, C_{2} : y = sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，则（）

A、将 $C_{1}$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，可以得到 $C_{2}$ B、将 $C_{1}$ 向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位，可以得到 $C_{2}$ C、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在 $[0, π]$ 有2个公共点 D、 $C_{1}$ 在原点处的切线也是 $C_{2}$ 的切线

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4、已知 $cos (α + β) = \frac{1}{4}, cos α cos β = \frac{1}{3}$ ，则 $tan α tan β =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、4

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5、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD是正方形， $△ P A D$ 是正三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，M是PD的中点.

(1)、求证： $P B //$ 平面MAC；

(2)、求二面角 $M - A C - D$ 的余弦值；

(3)、在棱PC上是否存在点Q使平面 $B D Q ⊥$ 平面MAC成立？如果存在，求出 $\frac{P Q}{Q C}$ 的值；如果不存在，请说明理由.

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6、某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50), [50, 60), ..., [90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、求样本成绩的 $P_{75}$ ；

(3)、已知落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是54，方差是7，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ ．

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7、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\sin B > \sin C$ ，则 $B > C$ ． B、若 $a = 2 \sqrt{6}, b = 4$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，则三角形有一解． C、若 $b \cos B - c \cos C = 0$ ，则 $△ A B C$ 一定为等腰直角三角形． D、若 $△ A B C$ 面积为 $S$ ， $S = \frac{1}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，则 $C = \frac{π}{4}$ ．

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8、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥$ 平面 $P A B$ ， $A B = 6$ ， $A C = 10$ ， $B P = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A B P = 45 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、 $144 π$ B、 $128 π$ C、 $140 π$ D、 $148 π$

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9、已知函数 $f (x) = (\sqrt{3} \sin x + \cos x) \cos x - \frac{1}{2}$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, m]$ 上的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1]$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ B、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{6}, \frac{7 π}{12})$ D、 $[\frac{π}{6}, \frac{7 π}{12}]$

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10、已知 $a$ ， $b$ 为正实数，且 $a > 1$ ， $b > 1$ ， $a b - a - b = 0$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值为4 B、 $2 a + b$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值为2 D、 $a + b$ 的最小值为 $3 - 2 \sqrt{2}$

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11、如图，在复平面内，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的点分别为 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ，则复数 $z_{1} \cdot z_{2}$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $- 3 i$ D、 $- 3$

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12、若实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a = 2 \sin \frac{π}{12}$ ， $b^{3} = 7$ ， $3^{c} = 10$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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13、若 $2^{m} = 5$ ， $4^{n} = 3$ ，则 $4^{3 n - m}$ 的值是（）

A、0.9 B、1.08 C、2 D、4

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14、下列各组对象不能构成集合的是（）

A、上课迟到的学生 B、2020年高考数学难题 C、所有有理数 D、小于 $π$ 的正整数

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15、已知 $f (x) = (1 - a x) \ln (1 + x) - x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = - 2$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的极值；

(3)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = 2 n - 1$ ，记 $b_{m}$ 为 $\{a_{n}\}$ 在区间 $[m, 2^{m}) (m \in N, m > 0)$ 内项的个数，则使得不等式 $b_{m + 1} - b_{m} > 2062$ 成立的 $m$ 的最小值为.

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17、已知在 ${(x + a)}^{5}$ 的二项展开式中，各项系数和为 $- 32$ ，则展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数为.

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18、在 $△ A B C$ 中，“ $\cos A = \sin B$ ”是“ $C = 90 °$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + B$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式：

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、若将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再向上平移1个单位得到 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时，求 $g (x)$ 的值域．

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20、已知 $f (x)$ 是定义在区间 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若 $m 、 n \in [- 1, 1]$ ， $m + n \neq 0$ 时，有 $\frac{f (m) + f (n)}{m + n} > 0$ .

(1)、证明函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递增；

(2)、解不等式 $f (\log_{2} (x + \frac{1}{2})) < f (\frac{1}{2})$ ；

(3)、若 $\frac{1}{2} |f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq t^{2} - 2 a t + 1$ 对所有 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [- 1, 1]$ ， $a \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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