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相关试卷

1、设 $a$ 、 $b$ 均为非零实数且 $a > b$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a^{- 2} > b^{- 2}$ B、 $a^{- 1} > b^{- 1}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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2、已知 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}| = 1 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} ， \vec{c} = (m ， 1 - m) ， \vec{d} = (n ， 1 - n) (m ， n \in R) ，$ 存在 $\vec{a} ， \vec{b} ，$ 对于任意的实数 $m, n$ ，不等式 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{c}| + |\overset{⃑}{b} - \overset{⃑}{d}| \geq T ，$ 则实数T的取值范围为．

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点M在双曲线C的右支上， $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，若 $M F_{1}$ 与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且 $|N F_{1}| - |O N| = 2$ ，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为．

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4、已知 $f (x)$ 是以 $2$ 为周期的偶函数，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = \sqrt{x}$ ，那么在区间 $(- 1, 3)$ 内，关于 $x$ 的方程 $f (x) = k x + k (k \in R)$ 有 $4$ 个根，则 $k$ 的取值范围是

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5、若 ${(x + 2)}^{n} = x^{n} + \dots + a x^{3} + b x^{2} + c x + 2^{n}$ （ $n \in N *$ 且 $n \geq 3$ ），且 $a : b = 3 : 2,$ 则 $n$ =.

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6、在 $△ A B C$ 中， $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$ ，则 $∠ A B C =$ ．（结果用反三角函数值表示）

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7、一圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的体积是．

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8、某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为．
类别
老年教师
中年教师
青年教师
合计
人数
36
72
64
172

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9、已知二次函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(- 1, 3)$ ，且不等式 $f (x) - 7 x < 0$ 的解集为 $(\frac{1}{4}, 1)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - m x$ ，若 $g (x)$ 在 $(2, 4)$ 上是单调函数，求实数 $m$ 的取值范围.

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{B O} = 2 \vec{O C}$ ，过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于不同的两点 $M$ ， $N$ .设 $\vec{A B} = m \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = n \vec{A N}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为.

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11、若 $a > 0, b > 0$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a + b} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、若 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 2$ ，则 $a + b \geq \frac{9}{2}$ C、若 $a b + b^{2} = 2$ ，则 $a + 3 b \geq 4$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$

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12、已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， A， $B$ 分别为椭圆的左顶点和上顶点， $F_{1}$ 为左焦点，且 $△ A B F_{1}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程：

(2)、设椭圆 $M$ 的右顶点为 $C$ 、 $P$ 是椭圆 $M$ 上不与顶点重合的动点．
①若点 $P (1, \frac{3}{2})$ ，点 $D$ 在椭圆 $M$ 上且位于 $x$ 轴下方，设 $△ A P C$ 和 $△ C D P$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} - S_{2} = \frac{3}{2}$ ，求点 $D$ 的坐标；
②若直线 $A B$ 与直线 $C P$ 交于点 $Q$ ，直线 $B P$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，如下图，求证： $2 k_{Q N} - k_{Q C}$ 为定值，并求出此定值（其中 $k_{Q N}$ 、 $k_{Q C}$ 分别为直线 $Q N$ 和直线 $Q C$ 的斜率）．

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13、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中

(1)、若 $E, F$ 分别为 $A_{1} B$ 和 $C C_{1}$ 的中点，求证： $E F //$ 平面 $A B C D$

(2)、求二面角 $C_{1} - B D - C$ 的正切值

(3)、如图， $O$ 为 $B D$ 的中点，问：在棱 $A A_{1}$ 上是否存在一点 $M$ ，使平面 $M B D ⊥$ 平面 $O C_{1} D_{1}$ ？如果存在，求出 $A M : M A_{1}$ 的值；如果不存在，请说明理由．

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14、如图， $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a sin C + \sqrt{3} a cos C - \sqrt{3} (b + c) = 0$ ， $D$ 为线段 $B C$ 上一点，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $A D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

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15、2023年国庆节假期期间，某超市举行购物抽奖赢手机的活动．活动规则如下：在2023年9月29日至10月6日期间消费金额（单位：元）不低于100元的顾客获得一张奖券（假设每名顾客只消费一次），奖券尾数随机生成，尾数为奇数和偶数的奖券数量相同，若顾客的奖券尾数为奇数，则获得一份价值5元的礼品，若顾客的奖券尾数为偶数，则获得抽取价值6999元的手机的资格．根据统计，顾客进入该超市消费金额的频率分布直方图如图所示．
以样本估计总体，以频率估计概率．

(1)、若有1000名购物的顾客，求送出的礼品的价值金额；

(2)、若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求每1000名顾客最多送出多少部手机．

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16、某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大

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17、由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元 $n$ 次多项式方程有 $n$ 个复数根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数．若复数 $z = 2 i - 3$ 是一元二次方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，则 $p + 2 q =$ ．

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18、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y \in R, f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (x)$ 不恒为0，下列说法中正确的有（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x) + f (0) \geq 0$ D、若 $f (1) = 0$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} f (i) = 4048$

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19、如图，矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 为 $A D$ 的中点， $C F$ 交 $D E$ 于点 $H$ ，将 $△ B A E$ 沿直线 $A E$ 翻折到 $△ P A E$ ，连接 $P D, G$ 为 $P D$ 的中点，则在翻折过程中，下列合题中正确的是（）

A、翻折过程中，始终有平面 $P A E //$ 平面 $G F C$ B、翻折过程中， $C G$ 的长是定值 C、若 $A B = B E$ ，则 $A E ⊥ E D$ D、存在某个位置，使得 $C G ⊥ A P$

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20、实验 $E$ ：甲、乙、丙三名同学各自从 $M$ 、 $N$ 、 $K$ 中选了一个字母（不可重复）.记事件 $A$ 为“乙同学选字母 $K$ ”，事件 $B$ 为“甲同学没有选字母 $N$ ”，则下列正确的有（）

A、 $P (A) = \frac{1}{3}$ B、 $P (B) = \frac{1}{3}$ C、 $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$ D、 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$

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类别	老年教师	中年教师	青年教师	合计
人数	36	72	64	172