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相关试卷

1、已知符号函数 $s g n (x) = {\begin{array}{l} 1, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$ ，
函数 $\begin{matrix} f (x) = s g n (x - \frac{π}{2}) + s i n 2 x, g (x) = 2^{x} - 2^{π - x}, \end{matrix}$ 则下列说法正确的是（）

A、 $s g n (x - \frac{π}{2}) > 0$ 的解集为 $(\frac{π}{2}, + \infty)$ B、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的周期为 $π$ C、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2}, 0)$ 对称 D、方程 $f (x) = g (x)$ 的所有实根之和为 $2 π$

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2、如图，将边长为1的正 $△ A B C$ 以边 $A B$ 为轴逆时针翻转 $θ$ 弧度得到 $△ A B C^{'}$ ，其中 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，构成一个三棱锥 $C^{'} - A B C$ ．若该三棱锥的外接球半径不超过 $\frac{\sqrt{13}}{6}$ ，则 $θ$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{π}{6}]$ B、 $(0, \frac{π}{4}]$ C、 $(0, \frac{π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$

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3、函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，若关于 $x$ 的方程 $g (x) - m = 0$ 在 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 上有两个不等实根 $x_{1}, x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围，并求 $g (x_{1} + x_{2})$ 的值．

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4、已知函数 $f (x) = s i n ω x$ ，其中 $ω > 0$ ， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ .若将方程 $f (x) = f^{'} (x)$ 的所有非负解从小到大排成一个等差数列 ${a_{n}} (n \geq 1)$ ，其公差为 $3 ω π$ ，则 $a_{10}$ 的值为.

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5、已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 最小正周期为 $2 π$ B、 $x = \frac{π}{6}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $(\frac{5 π}{12}, 1)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调

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6、已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ ， $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的对称轴，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})$ 上单调．

(1)、从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得 $f (x)$ 的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数 $f (x)$ 的图象经过点 $A (0, \frac{1}{2})$ ；
条件②： $(\frac{π}{3}, 0)$ 是 $f (x)$ 的对称中心；
条件③： $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 是 $f (x)$ 的对称中心.

(2)、根据（1）中确定的 $f (x)$ ，求函数 $y = f (x) (x \in [0, \frac{π}{2}])$ 的值域．

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7、已知函数 $f (x) = s i n x \cdot c o s (x + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、若 $x \in [0, \frac{5 π}{6}]$ ，方程 $f (x) - m = 0$ 有两个实数解，求实数m的取值范围．

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8、函数 $y = t a n (3 x - \frac{π}{4})$ 的定义域是．

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9、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 与角 $β$ 均以 $O x$ 为始边，它们的终边关于原点对称.若 $α \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，则 $c o s β$ 的最大值为．

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10、关于函数 $f (x) = | t a n x |$ 的性质，下列叙述正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{k π}{2} (k \in Z)$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(k π, k π + \frac{π}{2}) (k \in Z)$ 上单调递增

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11、已知函数 $f (x) = c o s^{2} x - s i n^{2} x$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、函数 $g (x)$ 的周期为 $π$ B、函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减 D、函数 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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12、已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ ，关于该函数有下列四个说法：
⑴函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 中心对称
⑵函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{8}$ 对称
⑶函数 $f (x)$ 在区间 $(- π, π)$ 内有4个零点
⑷函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上单调递增
以上四个说法中，正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、函数 $f (x) = \frac{x c o s 2 x}{l n (x^{2} + 1)}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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14、设复数 $z = s i n (θ + \frac{π}{4}) + 2 i$ 是纯虚数，则 $θ$ 的值可以为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{2023 π}{4}$ D、 $\frac{2025 π}{4}$

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15、在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， S为 $△ A B C$ 的面积，且 $2 S = a^{2} - {(b - c)}^{2}$ ，则 $\frac{b^{2} + c^{2}}{b c}$ 的取值范围为.

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16、若函数 $y = t a n 3 x$ 在区间 $(m, \frac{π}{6})$ 上是严格增函数，则实数 $m$ 的取值范围为.

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17、已知函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(k π + \frac{π}{12}, k π + \frac{7 π}{12}), k \in Z$ C、 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = 2 c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 D、满足条件 $(f (x) - f (- \frac{7 π}{4})) (f (x) - f (\frac{4 π}{3})) > 0$ 的最小正整数 $x$ 为2

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18、已知函数 $f (x) = c o s ω x (ω > 0, 0 < x < π)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $f (x)$ 单调递减，则 $ω \geq 1$ B、若 $f (x)$ 的最小值为 $- 1$ ，则 $ω > 1$ C、若 $f (x)$ 仅有两个零点，则 $\frac{5}{2} < ω \leq \frac{7}{2}$ D、若 $f (x)$ 仅有两个极值点，则 $2 < ω \leq 3$

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19、设 $a = s i n \frac{5}{2}$ ，则（）

A、 $2^{a} < a^{2} < l o g_{\frac{1}{2}} a$ B、 $l o g_{\frac{1}{2}} a < 2^{a} < a^{2}$ C、 $a^{2} < l o g_{\frac{1}{2}} a < 2^{a}$ D、 $l o g_{\frac{1}{2}} a < a^{2} < 2^{a}$

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20、已知函数 $f (x) = 3 t a n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ，则 $ω =$ ．

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