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1、已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 中心对称，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期 $3 π$ B、 $f (\frac{π}{2}) = 1$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后关于 $y$ 轴对称

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2、人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式 $p (t) = 110 + 20 s i n (140 π t)$ ，其中 $p (t)$ 为血压（单位： $m m H g$ ）， $t$ 为时间（单位： $m i n$ ），则此人每分钟心跳的次数为（）

A、50 B、70 C、90 D、130

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3、将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{12}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4、已知函数 $f (x) = 3 s i n (2 x - \frac{π}{3}) - 2 c o s^{2} (x - \frac{π}{6}) + 1$ ，把函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象.若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于x的方程 $g (x) = a$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 内的两根，则 $c o s (x_{1} + x_{2})$ 的值为.

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5、已知 $f (x) = s i n^{2} (ω x + \frac{π}{3}) - c o s^{2} (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，下列判断正确的是（）

A、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0$ ，且 ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = \frac{π}{2}$ ，则 $ω = 2$ B、 $ω = 1$ 时，直线 $x = \frac{π}{6}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $ω = 1$ 时，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图象关于原点对称 D、若 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上恰有9个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{53}{24}, \frac{59}{24})$

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6、 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距 $7 m$ 的A ， B两点各放置一个传感器，分别实时记录A ， B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图象，分别如曲线a ， b所示. $t_{1}$ 和 $t_{2}$ 分别是两个函数的极小值点.曲线a经过 $(0, r_{0}), (t_{1}, r_{1})$ 和 $(t_{2}, r_{0})$ ，曲线b经过 $(t_{2}, r_{2})$ .已知 $r_{1} t_{1} = r_{2} t_{2}, r_{1} = 4 m, t_{2} = 4 s$ ，并且从 $t = 0$ 时刻到 $t = t_{2}$ 时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（）

A、 $\frac{6}{7}, \frac{\sqrt{13}}{4} m / s$ B、 $\frac{6}{7}, \frac{\sqrt{13}}{2} m / s$ C、 $\frac{2}{7}, \frac{3 \sqrt{5}}{4} m / s$ D、 $\frac{2}{7}, \frac{3 \sqrt{5}}{2} m / s$

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7、将函数 $f (x) = s i n x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ 倍，可以得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上没有零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{5}{3}]$ B、 $[\frac{5}{3}, 3]$ C、 $(0, 3]$ D、 $(3, + ∞)$

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8、已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 $\frac{2}{m} (m > 0)$ ，纵坐标不变，得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是．

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9、已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ ， $(ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $t (t > 0)$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象．若函数 $g (x)$ 为奇函数，则 $t$ 的最小值是．

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10、已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （其中 $A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ B、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{π}{6}) (k \in Z)$ 上单调递增 C、要想得到 $y = 2 c o s 2 x$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[\frac{7 π}{12}, π]$ 上的取值范围是 $[- 2, 1]$

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11、已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + B (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个对称中心是 $(- \frac{2 π}{3}, 1)$ B、 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (Δ x + \frac{π}{2}) - f (\frac{π}{2})}{2 Δ x} = - 1$ C、将函数 $g (x) = 2 c o s x + 1$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得到函数 $f (x)$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在 $x \in (0, a)$ 上有5个零点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{7 π}{3}, \frac{17 π}{6}]$

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12、在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（）
①函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 成中心对称；
②函数 $f (x)$ 的解析式可以为 $f (x) = 2 c o s (2 x - \frac{2 π}{3})$ ；
③函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{13 π}{24}]$ 上的值域为 $[0, 2]$ ；
④若把 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{2}{3}$ 倍，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，则所得函数是 $y = 2 s i n (3 x + \frac{π}{12})$

A、①③ B、②③ C、③④ D、①④

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13、函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示， $f (x)$ 的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在 $f (x)$ 图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{6})$ 单调递增 D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 后，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 为奇函数

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14、已知函数 $f (x) = s i n x c o s x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} c o s (2 x - \frac{π}{6})$ ，为了得到函数 $f (x)$ 的图象，可将函数 $g (x)$ 的图象向左平移a个单位或向右平移b个单位，其中 $a, b > 0$ ，若 $| a - b | ≥ λ$ ，则实数λ的取值范围为．

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15、将函数 $f (x) = s i n (2 x + φ)$ 图象上的每个点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得的图象关于 $y$ 轴对称，写出一个符合条件的 $φ$ 的值.

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16、 2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A, ω \in N^{*}, | φ | < \frac{π}{3})$ 的图像，而破碎的涌潮的图像近似 $f^{'} (x)$ （ $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数）的图像．已知当 $x = 2 π$ 时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (\frac{π}{3}) = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ C、 $f^{'} (x - \frac{π}{4})$ 是偶函数 D、 $f^{'} (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 上单调

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17、把函数 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{3}$ 倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，则 $f (x)$ 的解析式可以为（）

A、 $f (x) = - 2 c o s 2 x$ B、 $f (x) = - 2 c o s (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = \frac{1}{2} c o s (\frac{2}{3} x - \frac{5 π}{6})$ D、 $f (x) = 2 s i n (\frac{2}{3} x - \frac{π}{6})$

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18、设 $ω > 0$ ，将函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3}) + 4$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3 ω}$ 个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象.若 $g (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增，在区间 $[\frac{π}{3}, \frac{5 π}{12})$ 上单调递减，则 $ω =$ （）

A、 $6 k - \frac{3}{2}$ ， $k \in N$ B、 $6 k + \frac{3}{2}$ ， $k \in N$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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19、将函数 $f (x) = s i n 2 x + \sqrt{3} c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = 2 s i n 2 x$ B、 $g (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $g (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $g (x) = 2 s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$

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20、已知实数 $a$ 满足：① $a \in [0, 2 π)$ ；②存在实数 $b, c (a < b < c < 2 π)$ ，使得 $a$ ， $b$ ， $c$ 是等差数列， $c o s b$ ， $c o s a$ ， $c o s c$ 也是等差数列.则实数 $a$ 的取值范围是.

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