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相关试卷

1、若函数 $f (x) = 24 a x^{3} + 4 x^{2} - x$ 在区间 $(- 1, 1)$ 恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $\{- \frac{1}{6}\} \cup (- \frac{1}{8}, \frac{5}{24})$ B、 $\{- \frac{1}{6}\} \cup [- \frac{1}{8}, \frac{5}{24})$ C、 $\{- \frac{1}{6}\} \cup (- \frac{1}{8}, \frac{5}{24}]$ D、 $\{- \frac{1}{6}\} \cup [- \frac{1}{8}, \frac{5}{24}]$

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2、已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于 $0.4$ 的为（）

A、摸到黑球 B、摸到红球 C、在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D、在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球

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3、若 $2^{27} + a$ 既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（）

A、6 B、10 C、55 D、63

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4、如图，为某组数据的散点图，由最小二乘法计算得到回归直线 $l_{1}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{1} x + {\hat{a}}_{1}$ ，相关系数为 $r_{1}$ ，决定系数为 $R_{1}^{2}$ ．若经过残差分析后去掉点P，剩余的点重新计算得到回归直线 $l_{2}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{2} x + {\hat{a}}_{2}$ ，相关系数为 $r_{2}$ ，决定系数为 $R_{2}^{2}$ ．则下列结论一定正确的是（）

A、 $r_{1} > r_{2}$ B、 $R_{1}^{2} > R_{2}^{2}$ C、 ${\hat{b}}_{1} < {\hat{b}}_{2}$ D、 $r_{1} > 0$ ， $r_{2} < 0$

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5、若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、若集合 $A = \{x ∣ y = \lg (4 - x^{2})\}$ ， $U = R$ ，则下列阴影部分可以表示 $∁_{U} A$ 的为（）

A、 B、 C、 D、

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7、在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加 $C$ 项目，那么不同的志愿者分配方案共有种（用数字表示）.

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8、参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为 $1$ 个单位长度，在球的右上方有一个灯泡 $P$ （当成质点），灯泡与桌面的距离为 $4$ 个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为 $A$ ，影子椭圆的右顶点到 $A$ 点的距离为 $3$ 个单位长度，则这个影子椭圆的离心率 $e =$ .

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9、已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1 (x y \neq 0)$ 上的动点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，若 $M$ 是 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线上的一点，且 $\overset{⃑}{F_{1} M} \cdot \overset{⃑}{M P} = 0$ ，则 $| \overset{⃑}{O M} |$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, \sqrt{3})$ C、 $(0, 4)$ D、 $(2, 2 \sqrt{3})$

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10、对于函数 $y = f (x), x \in D$ ，若存在 $x_{0} \in D$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个不动点．已知函数 $f (x) = {log}_{2} [a (4^{x} + 4^{- x}) + 2^{- x} + 1 - 2 a], a \geq 0$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 的定义域为 $R$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上仅有一个不动点，求实数a的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上有两个不动点，求实数a的取值范围．

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11、已知函数 $f (x) = 2 sin ω x sin (ω x + \frac{π}{3}) + cos 2 ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $ω$ 的值及函数 $f (x)$ 图像的对称中心；

(2)、设 $g (x) = b (sin x + cos x) - \sin x cos x$ ，若 $\forall x_{1} \in [0, \frac{π}{4}], \exists x_{2} \in [- \frac{π}{6}, 0],$ 使得 $g (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，求实数b的取值范围．

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12、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 2, 2]$ 上的偶函数， $f (\frac{1}{2}) = \sqrt{2}$ ，当 $- 2 \leq x \leq 0$ 时， $f (x) = cos (\frac{π x}{2}) + a^{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式： $f (2 x - 1) < f (x - 3)$ ．

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13、为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{matrix} 3 (x^{2} + 2), 0 \leq x \leq 2, \\ \frac{36 x}{x + 2}, 2 < x \leq 5, \end{matrix}$ ，肥料成本投入为10x元，其他成本投入为20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为 $f (x)$ （单位：元）．

(1)、求单株利润 $f (x)$ （单位：元）关于施用肥料x（单位：千克）的关系式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

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14、已知不等式 $\frac{2 x - 1}{x + 3} > 1$ 的解集为A，集合 $B = \{x |a - 2 \leq x \leq 2 a + 1\}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求A和 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数a的取值范围．

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15、将函数 $y = sin x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2 ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，得到函数 $f (x)$ 的图象，若 $f (x)$ 在区间 $(π, 2 π)$ 内没有零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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16、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $2 a + b = 2$ ，若 $t^{2} - 3 t \leq \frac{a}{b} + \frac{2}{a}$ 恒成立，则实数t的取值范围是．

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17、已知扇形的周长是其半径的4倍，若该扇形的面积为2，则该扇形的周长为．

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18、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数， $f (x - 1) = f (3 - x)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则（）

A、 $f (x) = f (x + 4)$ B、 $f ({log}_{3} 5) > f ({log}_{5} 8)$ C、当 $x \in [2, 3]$ 时， $f (x) = 1 - 2^{x - 2}$ D、方程 $∣ f (x) ∣ - lg x = 0$ 恰有10个解

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19、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有36个座舱，转一周需要30min．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，tmin后距离地面的高度为 $H (t)$ （单位：m），下述结论正确的是（）

A、 $H (t) = - 55 cos \frac{π}{15} t + 65$ B、甲进舱10分钟后距离地面的高度是82.5m C、在运行一周的过程中， $H (t) > 90$ 的时间超过10min D、游客乙在甲后的第6个座舱进舱，乙进舱后12min内，存在某一时刻甲、乙距离地面高度相等

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20、已知 $2^{a} = 3^{b} = 6$ ，则下列关系式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ B、 $a + b > 4$ C、 $a b < 4$ D、 $a^{2} + b^{2} > 8$

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