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1、如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成的角为45°，顶点B在平面α内的射影为O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于(　　)

A、 $\frac{\sqrt{6} + 3 \sqrt{2}}{12}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} + 1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{5 + 2 \sqrt{2}}{12}$

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2、如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，从 $F_{2}$ 发出的光线经过图2中的 $A, B$ 两点反射后，分别经过点 $C$ 和 $D$ ，且 $\tan ∠ C A B = - \frac{12}{5}$ ， $| \vec{B D} |^{2} = \vec{A D} \cdot \vec{B D}$ ，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{37}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{3}$

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3、已知 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别是数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_{n} = 1 - \frac{1}{2} a_{n}$ ， $b_{n} = - 4 n + 5$ ，若对 $\forall n \in N^{*}$ ，使得 $5 T_{n} - 3 S_{n} \leq a (a + 2)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq - 4$ 或 $a \geq 2$ B、 $a \leq - 1$ 或 $a \geq 3$ C、 $a \leq - 2$ 或 $a \geq 4$ D、 $a \leq - 3$ 或 $a \geq 1$

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4、函数 $f (x) = \frac{10^{x} - 1}{10^{x} + 1} \cdot \sin x$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5、已知 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ 均为单位向量，且满足 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c} = \overset{⃑}{0}$ ，则 $⟨\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c}⟩ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6、已知集合 $A = \{x | y = \lg (4 - x^{2})\}$ ， $B = \{x | y = \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3}\}$ ，则 $A \cap B =$

A、 $\{x |1 < x < 2\}$ B、 $\{x |1 \leq x < 2\}$ C、 $\{x |1 \leq x \leq 3\}$ D、 $\{x |- 2 \leq x \leq 3\}$

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7、设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点关于实轴对称，且 $z_{1} = 1 - i$ ，则 $z_{1} z_{2} =$ （）

A、2 B、0 C、 $- 2 i$ D、 $- 2$

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8、如图，正 $△ A B C$ 边长为 $2 ， D 、 E$ 分别是边 $A B, A C$ 的中点，现沿着 $D E$ 将 $△ A D E$ 折起，得到四棱锥 $A^{'} - B C E D$ ，点 $M$ 为 $A^{'} C$ 中点．

(1)、求证： $M E / /$ 平面 $A^{'} B D$

(2)、若 $A^{'} B = \sqrt{2}$ ，求四棱锥 $A^{'} - B C E D$ 的表面积．

(3)、过 $M E$ 的平面分别与棱 $A^{'} D, A^{'} B$ 相交于点 $S, T$ ，记 $△ A^{'} S T$ 与 $△ A^{'} B D$ 的面积分别为 $S_{△ A^{'} S T}$ 、 $S_{△ A^{'} B D}$ ，若 $\frac{S_{△ A^{'} S T}}{S_{△ A^{'} B D}} = \frac{1}{4}$ ，求 $\frac{A^{'} S}{A^{'} D}$ 的值．

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9、已知 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，且满足 $|2 \vec{a} + \vec{b}| = |\vec{b}|$

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、设 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ，求非零向量 $\vec{c}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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10、定义一种向量运算“ $\otimes$ ”： $\vec{a} \otimes \vec{b} = \{\begin{cases} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ, θ \in (0, π) \\ |\vec{a} - \vec{b}|, θ \notin (0, π) \end{cases}$ ，其中 $\vec{a}, \vec{b}$ 是任意的两个非零向量， $θ$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．对于同一平面内的非零向量 $\vec{c}$ ，给出下列结论，其中不正确的是（）

A、若 $\vec{a} \otimes \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ B、若 $λ \in R$ ， $λ \neq 0$ ，则 $λ (\vec{a} \otimes \vec{b}) = (λ \vec{a}) \otimes \vec{b}$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) \otimes \vec{c} = \vec{a} \otimes \vec{c} + \vec{b} \otimes \vec{c}$ D、若 $|\vec{c}| = 2$ ，则 $\vec{a} \otimes \vec{c} \leq |\vec{a}| + 2$

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11、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是平行四边形， $E, F$ 分别是棱 $P D, P A$ 的中点，下列说法正确的有（）

A、多面体 $A B F - D C E$ 是三棱柱 B、直线 $B F$ 与 $P C$ 互为异面直线 C、平面 $A D P$ 与平面 $B C P$ 的交线平行于 $E F$ D、四棱锥 $P - A B C D$ 和四棱锥 $P - B C E F$ 的体积之比为 $8 : 3$

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12、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上的一点，且 $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，若 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a}| = 1$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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13、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、若正方体棱长为2，求三棱锥 $D - A E C$ 的体积．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = n + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{99}$ ；

(3)、设 $b_{n} = \frac{n + 2}{2^{n + 2} \cdot a_{n}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} < \frac{m - 2023}{2}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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15、已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ．

(1)、求过点 $P (1, 2)$ 且与圆 $C$ 相切的直线 $l$ 的方程；

(2)、直线 $m$ 过点 $P (1, 2)$ ，且与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，当 $△ A O B$ 是等腰直角三角形时，求直线 $m$ 的方程．

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16、设等差数列{ $a_{n}$ }的各项均为整数，首项 $a_{1} = 3$ ，且对任意正整数 $n$ ，总存在正整数 $m$ ，使得 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{m}$ ，则这样的数列{ $a_{n}$ }的个数为.

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 的交点为 $P$ ，则 $(\vec{A A_{1}} + \vec{A B} + \vec{A D}) \cdot \vec{A P} =$ ．

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18、经过点 $(- 2, 3)$ ，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是.

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19、抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ），弦 $A B$ 过焦点 $F$ ， $△ A B Q$ 为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（）

A、点 $Q$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的准线 $x = - \frac{p}{2}$ 上 B、存在点 $Q$ ，使得 $\vec{O A} \cdot \vec{Q B} > 0$ C、 ${|Q F|}^{2} = |A F| \cdot |B F|$ D、 $△ A B Q$ 面积的最小值为 $p^{2}$

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20、正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $E 、 F 、 G$ 分别是 $A D 、 B C 、 E F$ 的中点，如图所示，将正方形沿 $E F$ 折起，使得平面 $A B F E$ 与平面 $D C F E$ 垂直，则（）

A、 $∠ A G C = \frac{2 π}{3}$ B、异面直线 $A C$ 与 $E F$ 的所成角为 $\frac{π}{3}$ C、 $A C$ 与平面 $A B F E$ 的所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、三棱锥 $C - A E G 、 C - B F G$ 和 $C - A B G$ 的体积分别为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ， $V_{3}$ ，则 $V_{1} + V_{2} = V_{3}$

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