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相关试卷

1、鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为 $45 °$ ，沿倾斜角为 $15 °$ 的斜坡向上走了90米到达B点（A ， B ， P ， Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为 $60 °$ ，则鼎湖峰的山高PQ为（）米

A、 $45 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ B、 $45 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ C、 $90 (\sqrt{3} - 1)$ D、 $90 (\sqrt{3} + 1)$

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2、在 $100 m$ 高的楼顶 $A$ 处，测得正西方向地面上 $B 、 C$ 两点 $(B 、 C$ 与楼底在同一水平面上）的俯角分别是 $7 5^{∘}$ 和 $1 5^{∘}$ ，则 $B 、 C$ 两点之间的距离为（）．

A、 $200 \sqrt{2}$ B、 $240 \sqrt{2}$ C、 $180 \sqrt{3}$ D、 $200 \sqrt{3}$

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3、（2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为 $S_{1}$ ，小正方形的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ .

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4、已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， $B C = C D$ ，存在点A满足 $∠ B A C = 16.5 °, ∠ D A C = 37 °$ ，则 $∠ B C A =$ (精确到0.1度)

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5、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 $E$ ， $H$ ， $G$ 在水平线 $A C$ 上， $D E$ 和 $F G$ 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， $E G$ 称为“表距”， $G C$ 和 $E H$ 都称为“表目距”， $G C$ 与 $E H$ 的差称为“表目距的差”则海岛的高 $A B =$ （）

A、 $\frac{表高 \times 表距}{表目距的差} +$ 表高 B、 $\frac{表高 \times 表距}{表目距的差} -$ 表高 C、 $\frac{表高 \times 表距}{表目距的差} +$ 表距 D、 $\frac{表高 \times 表距}{表目距的差} -$ 表距

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6、球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 $O$ 的半径为R ， A ， B ， $C$ 为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 $a$ ，设 $O_{a}$ 表示以 $O$ 为圆心，且过B ， C的圆，同理，圆 $O_{b}, O_{c}$ 的劣弧 $A C, A B$ 的弧长分别记为 $b, c$ ，曲面 $A B C$ （阴影部分）叫做曲面三角形， $a = b = c$ ，则称其为曲面等边三角形，线段OA ， OB ， OC与曲面 $△ A B C$ 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 $O - A B C$ ．设 $∠ B O C = α, ∠ A O C = β, ∠ A O B =$ $γ$ ，则下列结论正确的是（）

A、若平面 $△ A B C$ 是面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} R^{2}$ 的等边三角形，则 $a = b = c = R$ B、若 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则 $α^{2} + β^{2} = γ^{2}$ C、若 $a = b = c = \frac{π}{3} R$ ，则球面 $O - A B C$ 的体积 $V > \frac{\sqrt{2}}{12} R^{3}$ D、若平面 $△ A B C$ 为直角三角形，且 $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

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7、在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $a = \sqrt{6}$ ， $\sqrt{6} c o s B = (3 c - b) c o s A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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8、如图，在锐角 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $s i n A = s i n B$ ，且 $\sqrt{3} (a c o s B + b c o s A) = 2 c s i n C$ ， D是 $△ A B C$ 外一点且B、D在直线AC异侧， $D C = 2$ ， $D A = 6$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 是等边三角形 B、若 $A C = 2 \sqrt{13}$ ，则A ， B ， C ， D四点共圆 C、四边形ABCD面积的最小值为 $10 \sqrt{3} - 12$ D、四边形ABCD面积的最大值为 $10 \sqrt{3} + 12$

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9、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边为a、b、c若 $\frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{t a n B}{t a n C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形

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10、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b^{2} = 2 a c$ 且 $s i n C = 2 s i n A$ ，则 $c o s A$ 的值为 .

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11、 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 2 a s i n B$ ， $b c = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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12、若 $△ A B C$ 的三个内角为 $A, B, C$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $s i n A, s i n B, s i n C$ 一定能构成三角形的三条边 B、 $s i n 2 A, s i n 2 B, s i n 2 C$ 一定能构成三角形的三条边 C、 $s i n^{2} A, s i n^{2} B, s i n^{2} C$ 一定能构成三角形的三条边 D、 $\sqrt{s i n A}, \sqrt{s i n B}, \sqrt{s i n C}$ 一定能构成三角形的三条边

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13、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在C上，若 $∠ M O F = 4 5^{∘}$ （O为坐标原点），则（）

A、 $x_{0} = 4$ B、 $y_{0} = 4$ C、 $| M F | = 5$ D、 $c o s ∠ O F M = \frac{3}{5}$

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14、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 9, b = 8, c = 5$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为（）

A、 $\frac{225}{11} π$ B、 $\frac{125}{11} π$ C、 $\frac{123}{6} π$ D、 $\frac{113}{6} π$

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15、已知 $△ A B C$ 中， $A = 12 0^{∘} ，$ $D$ 是 $B C$ 的中点，且 $A D = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、1 D、2

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16、在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a c o s (B + \frac{π}{6}) = b s i n A$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，则 $b =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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17、在 $△ A B C$ 中，A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $B = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{b + c}{s i n B + s i n C}$ 的值为．

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18、在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且满足 $a = - 3 b c o s C$ ，则tanA的最大值为.

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19、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5, B C = 8$ ，边 $A B, A C$ 在平面 $α$ 上的射影长分别为 $3, 4$ ，则边 $B C$ 在 $α$ 上的射影长可能为（）

A、 $3 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{13}$

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20、等边 $△ A B C$ 的边长为5，点 $A$ 在平面 $α$ 上，点 $B, C$ 在 $α$ 的同一侧，且边 $A B, A C$ 在 $α$ 上的射影长分别为3，4，则边 $B C$ 在 $α$ 上的射影长为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{21}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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