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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, 5 λ + 4)$ ， $\vec{b} = (2 + λ, 8)$ ，其中 $λ \geq 0$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ （）

A、40 B、48 C、51 D、62

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2、已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (1, - 7)$ ，则（）

A、 $\vec{a} / / (\vec{a} + \vec{b})$ B、 $\vec{a} / / (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$

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3、如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形 $Γ$ ，其中正六边形边长为1．设 $\vec{A G} = x \vec{A B} + y \vec{A I}$ ，则 $x + y =$ ； $P$ 是平面图形 $Γ$ 边上的动点，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B P}$ 的取值范围是．

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4、如图，四边形 $A B C D$ 是边长为1的正方形，延长CD至E ，使得 $D E ＝ 2 C D$ ．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A E}$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围为．

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5、下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A、已知 $A (2, 3), B (4, - 3)$ ，点 $P$ 在直线 $A B$ 上，且 $| \vec{A P} | = \frac{3}{2} | \vec{P B} |$ ，则 $P$ 的坐标为 $(\frac{16}{5}, - 1)$ ； B、若 $O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆圆心，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A O} = \frac{1}{2} {\vec{A B}}^{2}$ C、若 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则 $P$ 是 $△ A B C$ 的垂心.

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (2, x)$ ，若 $(3 \vec{a} - \vec{b}) / / (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则实数 $x =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 4$

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 5$ ， $c o s ∠ C A B = \frac{3}{5}$ ， D是边 $B C$ 上一点，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ .若 $\vec{B P} = \frac{3}{4} \vec{A D}$ ，记 $\vec{P D} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C} (λ, μ \in R)$ ，则 $λ + μ =$ ；若点P满足 $\vec{B P}$ 与 $\vec{A D}$ 共线， $\vec{P A} ⊥ \vec{P C}$ ，则 $\frac{| \vec{B P} |}{| \vec{A D} |}$ 的值为.

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8、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ， P是线段AD上的动点（与端点不重合），设 $\vec{C P} = x \vec{C A} + y \vec{C B}$ ，则 $\frac{x + y}{x y}$ 的最小值是.

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (m, m + 2), m \in R, \vec{b} = (3, 4)$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $\vec{a}, \vec{b}$ 一定可以作为一个基底 B、 $| \vec{a} |$ 一定有最小值 C、一定存在一个实数 $m$ 使得 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ D、 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的取值范围是 $[0, π]$

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10、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 $△ A B C$ 内一点， $△ B M C$ ， $△ A M C$ ， $△ A M B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{M A} + S_{B} \cdot \vec{M B} + S_{C} \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ ．以下命题正确的有（）

A、若 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : 1 : 1$ ，则M为 $△ A M C$ 的重心 B、若M为 $△ A B C$ 的内心，则 $B C \cdot \vec{M A} + A C \cdot \vec{M B} + A B \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ C、若 $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， M为 $△ A B C$ 的外心，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = \sqrt{3} : 2 : 1$ D、若M为 $△ A B C$ 的垂心， $3 \vec{M A} + 4 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $c o s ∠ A M B = - \frac{\sqrt{6}}{6}$

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11、已知 $△ A B C$ 中， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ C = \frac{π}{4}$ ， AD为BC上的高，垂足为 $D$ ，点 $E$ 为AB上一点，且 $A E = 2 E B$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{C E} =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{8}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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12、给定平面上的一组向量 $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）

A、 $2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{2}} + 3 \vec{e_{1}}$ C、 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 和 $2 \vec{e_{2}} - 6 \vec{e_{1}}$ D、 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$

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13、在 $△ A B C$ 中， $B C = 1 ， ∠ A = 6 0^{∘}$ ， $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B}, \vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{C D}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E} =$ ；若 $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最大值为．

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14、在边长为1的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为线段 $C D$ 的三等分点， $C E = \frac{1}{2} D E, \vec{B E} = λ \vec{B A} + μ \vec{B C}$ ，则 $λ + μ =$ ； $F$ 为线段 $B E$ 上的动点， $G$ 为 $A F$ 中点，则 $\vec{A F} \cdot \vec{D G}$ 的最小值为．

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15、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (3,4), \overset{⃑}{b} = (1,0), \overset{⃑}{c} = \overset{⃑}{a} + t \overset{⃑}{b}$ ，若 $< \overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{c} > = < \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c} >$ ，则 $t =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 5$ C、5 D、6

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + μ \vec{b})$ ，则（）

A、 $λ + μ = 1$ B、 $λ + μ = - 1$ C、 $λ μ = 1$ D、 $λ μ = - 1$

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17、设向量 $\vec{a} = (x + 1, x), \vec{b} = (x, 2)$ ，则（）

A、“ $x = - 3$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的必要条件 B、“ $x = - 3$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的必要条件 C、“ $x = 0$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的充分条件 D、“ $x = - 1 + \sqrt{3}$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的充分条件

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18、如图所示，已知 $△ A B C$ 满足 $B C = 8, A C = 3 A B$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点.定义点集 $D = {P | \vec{A P} = 3 λ \vec{A B} + \frac{1 - λ}{3} \vec{A C}, λ \in R}$ .若存在点 $P_{0} \in D$ ，使得对任意 $P \in D$ ，满足 $| \vec{A P} | \geq | \vec{A P_{0}} |$ 恒成立，则 $| \vec{A P_{0}} |$ 的最大值为.

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19、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 $△ A B C$ 内一点， $△ B M C$ ， $△ A M C$ ， $△ A M B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{M A} + S_{B} \cdot \vec{M B} + S_{C} \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ ．以下命题正确的有（）

A、若 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : 1 : 1$ ，则M为 $△ A M C$ 的重心 B、若M为 $△ A B C$ 的内心，则 $B C \cdot \vec{M A} + A C \cdot \vec{M B} + A B \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ C、若 $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， M为 $△ A B C$ 的外心，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = \sqrt{3} : 2 : 1$ D、若M为 $△ A B C$ 的垂心， $3 \vec{M A} + 4 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $c o s ∠ A M B = - \frac{\sqrt{6}}{6}$

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20、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ，若对于任意实数x ，都有 $| \vec{b} - x \vec{a} | \geq | \vec{b} - \vec{a} |$ 成立，且 $| \vec{c} - \vec{a} | \leq 1$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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