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1、如图，D为 $△ A B C$ 内部一点， $D E ⊥ B C$ 于E ， $A B = A D$ .请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.① $\vec{C E} = 3 \vec{E B}$ ；② $s i n (B + C) = \sqrt{2} (s i n B - s i n C)$ ；③ $\frac{A D}{D E} + \frac{D E}{A D} + \sqrt{2} = \frac{A E^{2}}{A D \cdot D E}$ .

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2、在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B C} = 2 \vec{A D}$ ，点 $P$ 是四边形 $A B C D$ 所在平面上一点，满足 $\vec{P A} + 10 \vec{P B} + \vec{P C} + 10 \vec{P D} = \vec{0}$ .设 $s, t$ 分别为四边形 $A B C D$ 与 $△ P A B$ 的面积，则 $\frac{t}{s} =$ .

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3、如图所示，在正六边形 $A B C D E F$ 中，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A C} - \vec{A E} = \vec{B F}$ B、 $\vec{A C} + \vec{A E} = \frac{3}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = | \vec{A B} |^{2}$ D、 $\vec{A D}$ 在 $\overset{⇀}{A B}$ 上的投影向量为 $\overset{⇀}{A B}$

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4、已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 为两个不共线的单位向量，则（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{a}$ B、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、若 $⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = \frac{π}{3}$ ，则 $⟨ \vec{a} - \vec{b}, \vec{b} ⟩ = \frac{π}{3}$ D、若 $⟨ \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} ⟩ = \frac{π}{4}$ ，则 $⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ = \frac{π}{2}$

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5、在 $△ A B C$ 中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．

(1)、分别用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示向量 $\vec{A C}$ ， $\vec{B E}$ ；

(2)、若点N满足 $4 \vec{A N} + 2 \vec{A B} = 3 \vec{A C}$ ，证明：B ， N ， E三点共线．

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ ．

(1)、 $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，若 $A D = \sqrt{7}$ ，求 $c$ 的值；

(2)、若 $a = 4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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7、已知圆 $C : x^{2} - 2 x + y^{2} - 3 = 0$ ，过点 $T (2, 0)$ 的直线l交圆C于A ， B两点，点P在圆C上，若 $C P ∥ A B$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \frac{1}{2}$ ，则 $| A B | =$ 。

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8、若平面四边形 $A B C D$ 满足 $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$ ， $(\vec{A B} - \vec{A D}) \cdot \vec{A C} = 0$ ，则该四边形一定是.

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9、在平行四边形 $A B C D$ 中， $3 \vec{B E} = \vec{E D}$ ， $\vec{C E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} (λ, μ \in R)$ ， $2 λ + μ =$ ．

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10、如图，在 $4 \times 4$ 方格中，向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的始点和终点均为小正方形的顶点，则（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{c} |$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{c} \neq \vec{b} \cdot \vec{c}$

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11、如图， $O$ 是正六边形 $A B C D E F$ 的中心，则（）

A、 $\vec{A D} = 2 \vec{C B}$ B、 $\vec{O B} + \vec{O D} + \vec{O F} = \vec{0}$ C、 $\vec{A D} - \vec{A F} + \vec{D C} = \vec{C F}$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = \vec{O B} \cdot \vec{O D}$

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12、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 为非零向量，下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ B、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $2 \vec{a} + \vec{b} = (3, 2)$ ，则 $\vec{b} = (1, 2)$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量相等 D、已知 $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = - 5 \vec{a} + 6 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 7 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，则点A ， B ， D一定共线

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13、在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，且 $A B = 2 C D$ ，点 $M$ 是 $B C$ 的中点，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

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14、在梯形 $A B C D$ 中， $\vec{D C} = 3 \vec{A B}, E$ 为线段 $A D$ 的中点， $\vec{D F} = 2 \vec{F C}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $- \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{B A} + \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ D、 $- \vec{B A} + \frac{3}{2} \vec{B C}$

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15、已知等边 $△ A B C$ 的边长为1，点 $D, E$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，若 $\vec{D F} = 3 \vec{E F}$ ，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C}$

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16、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (4, 3)$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b} = (10, - 5)$ ，则（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ C、 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ D、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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17、设平面向量 $\vec{a} = (s i n θ, 1)$ ， $\vec{b} = (c o s θ, \sqrt{3})$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不能组成平面上的一个基底，则 $t a n θ =$ ．

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18、设 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，若 $\vec{A O} = \vec{A B} + 2 \vec{A C}$ ，则 $s i n ∠ B A C$ 的值为.

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19、已知在等边△ $A B C$ 中， $A B = 2$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点， $E$ 为 $B D$ 的中点，延长 $C E$ 交 $A B$ 占 $F$ ，则（）

A、 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ C、 $\vec{B E} \cdot \vec{A C} = \frac{3}{2}$ D、 $S_{△ D E C} = 2 S_{△ B E F}$

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20、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $A C$ 上一点且满足 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，若 $P$ 为边 $B D$ 上一点，且满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ， $λ$ ， $μ$ 为正实数，则下列结论正确的是（）

A、 $λ μ$ 的最小值为1 B、 $λ μ$ 的最大值为 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{3 μ}$ 的最大值为12 D、 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{3 μ}$ 的最小值为4

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