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相关试卷

1、如图，四边形 $A B C D$ 由 $△ A B C$ 和 $△ A C D$ 拼接而成，其中 $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A D C > 90 °$ ，若 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ， $∠ A C D = 30 °$ ， $A D = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，且 $t a n ∠ B A D = \frac{3 \sqrt{3}}{5}$ ，则 $△ C D E$ 的面积 $S =$ ．

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2、通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且 $\begin{array}{l} \frac{坡屋面高度半径}{半坡宽度} = 0.57 \pm 0.3 \end{array}$ ．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B ， C为檐口，且 $\overset{⌢}{A C}$ 所对的圆心角 $θ = \frac{π}{6}$ ， $\overset{⌢}{A C}$ 所在圆的半径为4， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，则（）

A、 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为 $\frac{2}{3} π$ B、 $A C = 2 \sqrt{6} - \sqrt{2}$ C、若 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{A C}$ 所在两圆的圆心距为 $4 \sqrt{3}$ ，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点 D、若 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{A C}$ 所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小

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3、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} t a n A t a n C = t a n A + t a n C + \sqrt{3}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $c o s A + c o s C$ 的取值范围.

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4、如图，角 $α$ ， $β (0 < α < β < π)$ 的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A ， B两点，M为线段AB的中点．N为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，则下列说法中正确的是（）

A、N点的坐标为 $(c o s \frac{β - α}{2}, s i n \frac{β - α}{2})$ B、 $| O M | = c o s \frac{β - α}{2}$ C、 $\frac{1}{2} (c o s α + c o s β) = c o s \frac{β + α}{2} c o s \frac{α - β}{2}$ D、若 $α + β$ 的终边与单位圆交于点C ，分别过A ， B ， C作x轴的垂线，垂足为R ， S ， T ，则 $| C T | < | A R | + | B S |$

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5、已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比为 $q$ ，若存在无穷多个不同的 $n$ ，满足 $a_{n + 2} \leq a_{n} \leq a_{n + 1}$ ，则下列选项之中，可能成立的有（）

A、 $q > 0$ B、 $q < 0$ C、 $| q | > 1$ D、 $| q | < 1$

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6、2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形 $A B C D$ 各边的四等分点E ， F ， G ， H ，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的四等分点M ， N ， P ， Q ，作第3个正方形 $M N P Q$ ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形 $A B C D$ 边长为 $a_{1}$ ，后续各正方形边长依次为 $a_{2}, a_{3}, ⋯, a_{n}, ⋯$ ；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为 $b_{1}$ ，后续各直角三角形面积依次为 $b_{2}, b_{3}, ⋯, b_{n}, ⋯$ ，若 $a_{1} = 8$ ，下列说法中正确的个数是（）
$①$ $a_{3} = 5;$
$②$ $b_{3} = \frac{75}{32};$
$③$ $\underset{n \to \infty}{l i m} \sum_{i = 1}^{n} b_{i} = 16;$
$④$ $a_{n} \cdot b_{n}$ 是公比为 $\frac{5}{8}$ 的等比数列.

A、1 B、2 C、3 D、4

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7、已知 $T_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的乘积，且 $a_{1} = 3$ ， $T_{n}^{2} = a_{n}^{n + 1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} > n - 1$ ．

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = - 15 \times {(\frac{1}{2})}^{n} + t$ ，则 $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ 取最大值时， $n$ 的值为．

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9、关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（）

A、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且其前 $n$ 项的和 $S_{n} = 2^{n - 1} + t$ ，则 $t = - \frac{1}{2}$ B、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{2} a_{7} + a_{3} a_{6} = 6$ ，则 $a_{1} a_{2} a_{3} ⋯ a_{8} = 81$ C、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为前 $n$ 项和，则 $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n}$ ， …成等比数列 D、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $2 a_{1} + 3 a_{3} = S_{6}$ ，则 $S_{10}$ 最小

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10、已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 2$ ， $a_{4} + a_{6} = 16$ ，则 $a_{10} + a_{12} =$ （）

A、26 B、32 C、512 D、1024

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11、已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均不为零， $S_{n}$ 为其前n项和，且 $a_{n} a_{n + 1} = 2 S_{n} - 1$ .

(1)、证明： $a_{n + 2} - a_{n} = 2$ ；

(2)、若 $a_{1} = - 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列， $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{2} = a_{3}$ .求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前2022项和 $T_{2022}$ .

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12、已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $b_{1} = - 2$ ， ${a_{n}}$ 是公差为1的等差数列，数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 是公比为2的等比数列.

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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13、在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 2, a_{11} = 8$ ，则 $a_{7} =$ .

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14、若实数 $0, x, y, 6$ 成等差数列， $- \frac{1}{2}, a, b, c, - \frac{1}{8}$ 成等比数列，则 $\frac{y - x}{b}$ =.

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15、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，首项 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{4}$ 是 $a_{2}$ 与 $a_{8}$ 的等比中项，记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{20} =$ .

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16、已知实数数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，下列说法正确的是（）．

A、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 $a_{1} + a_{3} + a_{8} = 2 a_{6}$ 恒成立 B、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 $S_{3}$ ， $S_{6} - S_{3}$ ， $S_{9} - S_{6}$ ， …为等差数列 C、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{3} = 7$ ， $S_{3} = 21$ ，则 $a_{4} = - \frac{7}{2}$ D、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $S_{3}$ ， $S_{6} - S_{3}$ ， $S_{9} - S_{6}$ ， …为等比数列

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17、等比数列 ${a_{n}}$ 公比为 $q (q \neq 1)$ ， $a_{1} > 0$ ，若 $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），则“ $q > 1$ ”是“数列 ${T_{n}}$ 为递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} a_{3} a_{13} = 8$ ，则 $a_{4} a_{8} =$ （）．

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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19、记等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} a_{2} a_{3} = 27, a_{5} = 81$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、121 B、63 C、40 D、31

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20、已知等比数列 ${a_{n}}, a_{2} ＝ 4, a_{10} ＝ 16,$ 则 $a_{6} =$ （　　）

A、8 B、±8 C、10 D、±10

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