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相关试卷

1、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 4, A A_{1} = 2 \sqrt{2}, E, F$ 分别是棱 $A_{1} D_{1}, B B_{1}$ 的中点， $G$ 是 $A_{1} B$ 的中点，直线 $C_{1} G$ 与平面 $A B C D$ 交于点 $P$ ，则（）

A、异面直线 $E F$ 与 $C D$ 所成角的余弦值是 $\frac{2 \sqrt{22}}{11}$ B、点 $C$ 到平面 $D E F$ 的距离是 $\frac{8 \sqrt{22}}{11}$ C、三棱锥 $P - A A_{1} C$ 的体积为 $\frac{16 \sqrt{2}}{3}$ D、四面体 $C D E F$ 外接球的表面积是 $34 π$

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2、已知函数 $f (x) = sin x + 2 cos x$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、若直线 $x = x_{0}$ 是 $f (x)$ 图象的对称轴，则 $sin x_{0} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的值域为 $[- 2, \sqrt{5}]$ D、若 $α \neq β, α, β \in (0, 2 π]$ ，且 $f (α) = f (β) = - 2$ ，则 $cos (α + β) = \frac{3}{5}$

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3、降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响．如图，这是 $A, B$ 两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．
下列结论正确的是（）

A、这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大 B、这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大 C、这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大 D、这年上半年A地月降雨量的 $80 %$ 分位数比B地月平均降雨量的 $80 %$ 分位数大

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4、已知圆 $M : x^{2} + y^{2} - 6 y = 0$ 与圆 $N : {(x - cos θ)}^{2} + {(y - sin θ)}^{2} = 1 (0 \leq θ \leq 2 π)$ 交于 $A, B$ 两点，则 $△ A B M$ （ $M$ 为圆 $M$ 的圆心）面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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5、对于非空数集 $A, B$ ，定义 $A \times B = \{(x, y)| x \in A, y \in B\}$ ，将 $A \times B$ 称为“ $A$ 与 $B$ 的笛卡尔积”．记非空数集 $M$ 的元素个数为 $|M|$ ，若 $A, B$ 是两个非空数集，则 $\frac{|A \times A| + 4 |B \times B|}{|A \times B|}$ 的最小值是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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6、若函数 $f (x) = ln (e^{2 x} + 1) - a x$ 是偶函数，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线斜率为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线被圆 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 9$ 所截得的弦长为 $2 a$ ，则双曲线 $C$ 的焦距是（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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8、现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km，上底面边长为4km，侧棱长为 $3 \sqrt{2} km$ ，则该水库的最大蓄水量为（）

A、 $\frac{112}{3} {km}^{3}$ B、 $112 {km}^{3}$ C、 $\frac{56}{3} {km}^{3}$ D、 $56 {km}^{3}$

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9、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{6} : S_{3} = 3 : 1$ ，则 $S_{9} : S_{3} =$ （）

A、 $4 : 1$ B、 $6 : 1$ C、 $7 : 1$ D、 $9 : 1$

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10、已知抛物线 $C : y = 2 x^{2}$ ，则抛物线 $C$ 的焦点到准线的距离是（）

A、 $4$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、已知复数 $z = 2 i (1 - i) + 1$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{13}$ C、5 D、13

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12、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $A = \frac{5 π}{6}$ ， $D$ 是边 $B C$ 上的一点，且 $\frac{\sin ∠ B A D}{b} + \frac{\sin ∠ C A D}{c} = \frac{3}{2 a}$ .

(1)、证明： $A D = \frac{1}{3} a$ ；

(2)、若 $C D = 2 B D$ ，求 $\cos ∠ A D C$ .

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{4}{5}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}}{a_{n} + 3}$ ，设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} - 1$ ．

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} > 2024$ ，求满足条件的最小正整数 $n$ ．

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $2 a sin A = (2 sin B + sin C) b + (2 sin C + sin B) c$ ．

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $\vec{m} = (1, sin B), \vec{n} = (sin C, 1)$ ，求 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ 的最大值．

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $y = f (x) + e^{x}$ 是偶函数， $y = f (x) - 3 e^{x}$ 是奇函数，则 $f (x)$ 的最小值为．

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16、复数 $z$ 满足 $|z - 5| = |z - 1| = |z + i|$ ，则 $|z| =$ .

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17、已知 $x_{1}$ 是函数 $f (x) = x + 1 - ln (x + 2)$ 的零点， $x_{2}$ 是函数 $g (x) = x^{2} - 2 a x + 4 a + 4$ 的零点，且满足 $|x_{1} - x_{2}| \leq 1$ ，则实数 $a$ 的取值可能是（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $2 - 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 4 \sqrt{2}$

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18、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} + 2 \sin x - \sin 2 x$ ，则下列结论正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 上有2个零点 C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(π, \sqrt{3})$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的最小值为 $- \sqrt{3}$

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19、（多选）若 $x > 1 > y$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $x - 1 > 1 - y$ B、 $x - 1 > y - 1$ C、 $x - y > 1 - y$ D、 $1 - x > y - x$

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ，则 $\frac{S}{a^{2} + 4 b c}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{16}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{9 \sqrt{15}}{16}$ D、 $\frac{9 \sqrt{15}}{32}$

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