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相关试卷

1、已知 $i$ 为虚数单位， ${(1 + i)}^{2} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot (\frac{1}{x} - \ln x + a)$ ，其中 $a \in R$ ．
(1)若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = e x$ 平行，求a的值．
(2)若函数 $f (x)$ 在定义域内单调递减，求a的取值范围．
(3)若不等式 $f (x) \geq 2 e$ 对 $x \in (0, 1]$ 恒成立，求a的取值范围．

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3、如图，在 $△ A B D$ 中， $A B = 1, A D = 2$ ，点 $C$ 为 $△ A B D$ 外接圆上的一个动点（点 $A, C$ 在直线 $B D$ 两侧）．

(1)、若 $∠ B A D = \frac{3}{4} π$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ 的值；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = - 1$ ，求四边形 $A B C D$ 周长的最大值；

(3)、若 $\vec{A C} = 2 \vec{A B} + \vec{A D}$ ，求 $| \vec{A C} |$ ．

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4、已知复数 $z = 2 + 3 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- 3 i$ D、 $3 i$

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5、已知点 $P$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 12 = 0$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $4 x - 3 y - 2 = 0$ 距离的最小值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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6、对于函数 $y = f (x)$ ， $x \in D$ ，若存在非零常数 $a$ 和 $b$ ，使得对任意实数 $x \in D$ 都有 $b - x \in D$ ，且等式 $f (b - x) = a f (x)$ 恒成立，则称函数 $y = f (x)$ 是“ $(a, b)$ 类对称函数”.

(1)、判断函数 $y = \sin x$ 是否是“ $(a, b)$ 类对称函数”，请说明理由；

(2)、设 $ω \in (0, 2 π]$ ，若函数 $y = cos (ω x)$ 是“ $(a, 1)$ 类对称函数”，求 $ω$ 的值；

(3)、设 $b \in (0, 2 π]$ ，证明：函数 $y = \frac{\sin x}{2 + \cos x} + x + t$ 是“ $(a, b)$ 类对称函数”的充要条件是“ $a = - 1$ 且 $t = - π$ ”.

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7、如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $E F / /$ 平面 $A B C D$ ，过 $E F$ 的平面交平面 $A B C D$ 于 $A C$ ， $E F = A C = E C = 2$ ．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A B F$ ；

(2)、若平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A C E F$ ， $∠ A C E = 60 °$ ，且四棱锥 $E - A B C D$ 的体积是 $2 \sqrt{3}$ ．
①求 $B D$ 的长；
②求直线 $E D$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值．

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8、设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} sin 2 ω x + {cos}^{2} ω x$ ，其中 $0 < ω < 2$ .

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 图象在 $(0, \frac{π}{3}]$ 上存在对称轴，求 $ω$ 的取值范围.

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，设向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \cos A, \cos A + \sin A), \vec{n} = (2 \sin A, \cos A - \sin A)$ ，记 $f (A) = \vec{m} \cdot \vec{n}, A \in [\frac{π}{4}, \frac{3π}{4}]$ ．

(1)、求函数 $f (A)$ 的最大值；

(2)、若 $f (A) = 1, a = \sqrt{3}, b = 2$ ，求c．

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10、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ， $\vec{c} = (1, - 1)$ ．

(1)、求 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的坐标， $|\vec{b}|$ 的值；

(2)、若 $\vec{c} / / (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求实数k的值；

(3)、若 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} + k \vec{b})$ ，求实数k的值．

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11、在圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A C = 4, A B = 2 A D, ∠ B A D = 60 °$ ，则 $△ B C D$ 面积的最大值为．

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12、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ，设 $∠ A B M = α, ∠ C B M = β$ ，若 $sin α = 3 sin β$ ，则 $sin C =$ .

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13、若 $z = 3 + 4 i$ ，那么 $|z| =$ .

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14、已知函数 $f (x) = \frac{4^{a x} + 1}{2^{x}}$ ．则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 1$ ，则 $f (x)$ 为偶函数； B、若 $a = - 1$ ，则 $f (x)$ 单调递增； C、若 $a = 1$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为2； D、若 $a < 0$ 时，函数 $h (x) = f (m - | \ln x | - 1) - 2$ 在区间 $[\frac{1}{2}, e]$ 上有且仅有一个零点，则 $1 + \ln 2 < m \leq 2$ ．

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15、设锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $a = \sqrt{3}$ ，且 $(2 b - c) \cos A = a \cos C$ ，则下列命题正确的个数为（     ）
① $A = \frac{π}{3}$ ；             ② $△ A B C$ 的外接圆的面积是 $π$ ；
③ $△ A B C$ 的面积的最大值是 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ；       ④ $b + c$ 的取值范围是 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3}]$ ．

A、4 B、3 C、2 D、1

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16、如图1，三棱锥 $V - A B C$ 的高 $V O = \sqrt{3}$ ，底面 $△ A B C$ 在斜二测画法下的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图2所示，其中 $O^{'}$ 为 $A^{'} B^{'}$ 的中点，且 $O^{'} A^{'} = 1$ ， $O^{'} C^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .则三棱锥 $V - A B C$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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17、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ， $- \frac{5 π}{18}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点，直线 $x = \frac{2 π}{9}$ 与 $x = \frac{8 π}{9}$ 是 $f (x)$ 图象的两条对称轴，则当 $ω$ 取最小值时， $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{18}, \frac{π}{6}]$ 上的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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18、已知某圆锥的外接球的体积为 $\frac{500π}{3}$ ，若球心到该圆锥底面的距离为 $4$ ，则该圆锥体积的最大值为（）

A、 $9π$ B、 $27π$ C、 $18π$ D、 $48π$

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19、 $α$ ， $β$ 是两个平面，m，n是两条直线，则（）

A、如果 $m / / α$ ， $n / / α$ ，那么 $m / / n$ B、如果 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， m，n是异面直线，那么n与 $α$ 相交 C、如果 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，那么 $m / / β$ D、如果 $m / / α$ ， n与 $α$ 相交，那么m，n是异面直线

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20、“ ${sin}^{2} α + {cos}^{2} β = 1$ ”是“ $α \pm β = 0$ ”的（）

A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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