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相关试卷

1、定义： $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| sin θ$ ，其中 $θ$ 为向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角.若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8, tan θ = 2$ ，则 $|\vec{a} \times \vec{b}| =$ （）

A、8 B、16 C、 $\frac{16 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

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2、曲线 $y = ln x$ 在点 $(e, 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y = 0$ B、 $x - e y = 0$ C、 $x - y + 1 - e = 0$ D、 $e x - y = 0$

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3、已知集合 $A = {x \in N ∣ x < 5}, B = \{y ∣ y = sin x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $[0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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4、马拉松爱好者小丽 $7 \sim 12$ 月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7 $\sim 12$ 月份每个月的跑步里程的 $60 %$ 分位数为（）
月份
7月
8月
9月
10月
11月
12月
跑步里程
310
254
220
210
248
300

A、210公里 B、251公里 C、254公里 D、248公里

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5、下列函数中，是奇函数的是（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = x + 1$ D、 $y = \sqrt{x}$

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6、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $D (n, 0) (n > 0)$ ，过F的直线交C于M、N两点．当直线 $M N$ 的斜率为1时， $|M N| = 8$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若直线 $M D$ 、 $N D$ 与抛物线C的另一个交点分别为A、B， $O A ⊥ O B$ ，求 $n$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，记直线 $M N$ 、 $A B$ 的倾斜角分别为 $α$ 、 $β$ ，求 $\tan (α - β)$ 的最大值．

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7、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 1}{x - 4} \geq 0\}$ ， $B = \{x |x = 2 sin θ, θ \in R\}$ ，则 $∁_{R} (A \cup B) =$ （）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(2, 4]$ D、 $(1, 4)$

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8、如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为DB的中点，直线 $A_{1} C$ 交平面 $C_{1} B D$ 于点M，则下列结论正确的是（）

A、直线 $B C_{1}$ 与直线 $C D_{1}$ 所成角为 $60 °$ B、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ C、M、O、 $C_{1}$ 三点共线 D、直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成角的为 $\frac{π}{4}$

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 m x^{2} + m^{2} x$ 在x=1处取得极大值，则m的值为（）

A、1 B、3 C、1或3 D、2或 $- 2$

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10、集合 $A = \{x ∣ 0 \leq x \leq 2\}, B = \{x \in N ∣ x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 ${x ∣ 0 \leq x < 2}$

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $\vec{A M} = x \vec{A B} (0 < x < 1)$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C} (0 < y < 1)$ ，设 $C M$ 与 $B N$ 交于点 $P$ ，且 $\vec{C P} = 2 \vec{P M}$ ．

(1)、求 $2 x y - 3 y$ 的值；

(2)、定义平面非零向量之间的一种运算“ $\oplus$ ”： $\vec{a} \oplus \vec{b} = \frac{|\vec{a}| sin θ}{|\vec{b}|}$ （其中 $θ$ 是两非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角）．
（ⅰ）若 $M$ 为 $A B$ 的中点，求 $\vec{P B} \oplus \vec{P C}$ 的值；
（ⅱ）若 $\vec{A P} \oplus \vec{B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $x + y$ 的值．

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12、（用坐标法不给分）已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所有棱长均为 $2, ∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ．

(1)、求证：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、设平面 $B D C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 交于直线 $l$ ，求证：直线 $l / /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(3)、求二面角 $D - B D_{1} - C_{1}$ 的平面角的正弦值．

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13、某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有6个大小质地完全相同的球，其中 $m$ （ $m \in \{2, 3, 4, 5\}$ ）个为红球，其余均为白球，现从中不放回地依次随机摸出2个球，若取到的两个球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到的两个球不同色，则称为不中奖．一次抽奖结束后，取出的球放回袋子中，供下一位顾客抽奖（每位顾客只有一次抽奖机会）．

(1)、若 $m = 2$ ，求一次抽奖中奖的概率；

(2)、若要求一次抽奖中奖的概率最小．
（ⅰ）求 $m$ ；
（ⅱ）求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率．

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14、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, A = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $a = \sqrt{13}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ ；

(2)、若 $b = 4, c = 3, ∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于 $D$ ，求 $A D$ 的长．

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15、2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全世界，引起人们对中国动漫产业的关注．为了解中国动漫市场受市场群体关注的年龄（单位：岁）占比情况，某电影院调查了某天观看中国动漫系列电影的观众年龄情况，并按年龄进行适当分组（每组为左闭右开的区间），得到频率分布直方图如图所示（同一组的数据用该区间的中点值代表）．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求该样本的平均数 $\bar{x}$ 和中位数 $y$ ．

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16、如图，在棱长均为4的正四棱锥 $V - A B C D$ 中， $\frac{V E}{V C} = \frac{1}{4}$ ，若过点 $E$ 且垂直于棱 $V C$ 的平面分别交棱 $V B, A B, A D, V D$ 于点 $F, G, H, I$ ，则五边形 $E F G H I$ 的面积为．

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17、如图，小明为了测量河对岸的塔高 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ．现测得 $∠ A C B = 30 °, ∠ A D B = 45 °, ∠ B D C = 135 °, C D = 10 \sqrt{2}$ ，则塔高 $A B =$ ．

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18、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，记 $\bar{B}$ 为事件 $B$ 的对立事件，若 $P (A) = 0.8, P (\bar{B}) = 0.6$ ，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A + B) =$ ．

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = 120 °, \vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $- \frac{3}{4} \vec{B C}$ ，则（）

A、 $a = \frac{2}{3} c$ B、 $tan A = \frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $(\vec{B A} + 6 \vec{B C}) \cdot \vec{A C} = 0$ D、 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{8} c^{2}$

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20、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 均不为零，则（）

A、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ B、 ${(z_{1} - z_{2})}^{2} = {|\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}|}^{2}$ C、 $\bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}} = \bar{z_{1} z_{2}}$ D、 $\bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = \frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}$

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月份	7月	8月	9月	10月	11月	12月
跑步里程	310	254	220	210	248	300