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相关试卷

1、空间直角坐标系中有一点 $P (x, y, z)$ ，其中 $x, y, z$ 均为正整数，若 $x y z = 2025$ ，则称点 $P$ 具有性质“2025高考大捷”，则具有性质“2025高考大捷”的不同的点 $P$ 共有个．

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2、已知函数 $g (x) = x + ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + 3$ ，若 $g (a x - 2 e^{x} + 2) < 3$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为．

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3、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的离心率为．

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4、已知 $△ A O B$ 的三个顶点分别是点 $A (4, 0)$ 、 $O (0, 0)$ 、 $B (0, 3)$ ，以下正确的是（）

A、 $△ A O B$ 的外接圆的标准方程 ${(x - 2)}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{25}{4}$ B、 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 6 x$ 上的动点，则 $|P A|$ 的最小值是 $4$ C、同时和 $△ A O B$ 三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于 $36$ D、 $P$ 是 $△ A O B$ 的内切圆上的动点，则点 $P$ 到三顶点的距离的平方和的取值范围是 $[18, 22]$

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5、已知函数 $f (x) = e^{2 |x|} + cos 2 x, (x \in R)$ ，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、函数 $f (x)$ 的最小值为2，无最大值 C、函数 $f (x)$ 在 $(- π, π)$ 上单调递增 D、不等式 $f (x - 1) < f (x)$ 的解集为 $(\frac{1}{2}, + \infty)$

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6、设两个随机变量 $X$ 、 $Y$ 满足 $X$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ， $Y$ 服从二项分布 $B (2, \frac{1}{2})$ ，则（）（若随机变量 $Z ～ N (μ, σ^{2})$ ， $P (μ - σ \leq Z \leq μ - σ) \approx 0.6826$ ）

A、 $E (X) < E (Y)$ B、 $D (X) < D (Y)$ C、 $P (X \leq 0) > P (Y \leq 0)$ D、 $P (X \leq 1) > P (Y \leq 1)$

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7、已知函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）满足 $f (1) > 1$ ，且函数 $y = \log_{a} (x^{2} - a x - 1)$ 在 $[2, 3]$ 上单调递增，则实数a的取值范围为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(1, 4]$ C、 $(1, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, 4]$

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8、数列 $\{a_{n}\}$ 是公比不为1的等比数列，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则“ $\forall n \in N^{*}$ ， $T_{n} \geq T_{5}$ ”是“ $a_{5} \leq 1$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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9、如图所示，梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是平面图形 $A B C D$ 用斜二测画法得到的直观图， $A^{'} D^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = A^{'} B^{'} = 1$ ，则平面图形 $A B C D$ 中对角线 $A C$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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10、复数 $z$ 满足 $z i + 1 = 2 z + i$ ，则在复平面内，复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、已知集合 $A = \{x |- 1 \leq x^{3} \leq 1\}$ ， $B = \{x \in Z |x^{2} - x - 2 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0\}$ D、 $\{0, 1\}$

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12、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A H} = 2 \vec{H E}$ ，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $- \frac{6}{13} \vec{a} + \frac{9}{13} \vec{b}$ B、 $- \frac{2}{13} \vec{a} + \frac{3}{13} \vec{b}$ C、 $- \frac{9}{13} \vec{a} + \frac{6}{13} \vec{b}$ D、 $- \frac{3}{13} \vec{a} + \frac{2}{13} \vec{b}$

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13、对于给定的椭圆 $E_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，与之对应的另一个椭圆 $E_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = λ (λ > 0$ 且 $λ \neq 1)$ ，则称 $E_{1}$ 与 $E_{2}$ 互为共轭椭圆.已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 互为共轭椭圆， $A (2, 0)$ 是椭圆 $C$ 的右顶点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程.

(2)、不过点 $A$ 的直线 $l : x = m y + t$ 与椭圆 $C$ 交于 $B$ 、 $D$ ，且直线 $A B$ 与直线 $A D$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .
①证明：直线 $l$ 过定点.
②试问在 $x$ 轴上是否存在点 $E$ ，使得直线 $B E$ 、 $D E$ 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.

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14、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a x, a \in R$ .

(1)、讨论 $y = f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若存在实数 $b$ 使得 $x$ 轴为 $g (x) = f (x) - b$ 的切线，求 $b$ 的最大值.

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15、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $D C = 2 A B = 4$ ， $P D = 2$ ，点 $M$ 在棱 $P C$ 上．

(1)、当 $M C = 2 M P$ 时，求证： $P A //$ 平面 $M B D$ ；

(2)、若直线 $P A$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ ，二面角 $P - B D - M$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $P M$ ．

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16、已知 $b, c, d$ 均为实数，若 $x^{3} + b x^{2} + c x + d > 0$ 的解集是 ${x ∣ x > a$ 且 $x \neq a + 1}$ ，则函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的极大值为.

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17、已知 $\sqrt{2} \sin α = \sin (α - \frac{π}{4})$ ，则 $\cos 2 α + \cos^{2} α =$ .

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18、在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中，第四项的系数与第三项的二项式系数之和为.

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19、如图，曲线 $y^{2} = 2 x (y \geq 0)$ 上的点 $A_{i}$ 与x轴非负半轴上的点 $B_{i - 1}$ ， $B_{i} (i = 1, 2 \cdot \cdot \cdot, n)$ 构成一系列正三角形，记为 $△ B_{0} A_{1} B_{1}$ ， $△ B_{1} A_{2} B_{2}$ ， …， $△ B_{n - 1} A_{n} B_{n}$ （ $B_{0}$ 为坐标原点）．设 $△ B_{n - 1} A_{n} B_{n}$ 的边长为 $a_{n}$ ，点 $B_{n} (b_{n}, 0)$ ， $△ B_{n - 1} A_{n} B_{n}$ 的面积为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，则下列说法中正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{4}{3} n$ B、数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式 $b_{n} = \frac{2}{3} (n^{2} + 2 n - 1)$ C、 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + \cdot \cdot \cdot + S_{13} = 364 \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{S_{n}} < \frac{5 \sqrt{3}}{4}$

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20、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $, A B = 2, E, F$ 分别是 $A D, C C_{1}$ 的中点.下列说法正确的是（）

A、 $E F //$ 平面 $A B C_{1} D_{1}$ B、异面直线 $E F$ 与 $C_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、过 $B ､ E ､ F$ 三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 $\frac{7 \sqrt{5}}{2}$ D、若点 $M$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上运动，且点 $M$ 到点 $A$ 的距离与到点 $E$ 的距离之比为 $\sqrt{2}$ ，则点 $M$ 的轨迹长度为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} π$

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