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相关试卷

1、在中国诗词大会的比赛中，选手需要回答两组题展示自己的诗词储备.

(1)、第一组题是情境共答题，参与比赛者需根据情境填写诗句.小王知道该诗句的概率是 $\frac{1}{2}$ ，且小王在不知道该诗句的情况下，答对的概率是 $\frac{1}{2}$ .记事件A为“小王答对第一组题”，事件B为“小王知道该诗句”.
（ⅰ）求小王答对第一组题的概率 $P (A)$ ；
（ⅱ）在小王答对第一组题的情况下，求他知道该诗句的概率 $P (B |A)$ .

(2)、小王答对第一组题后开始答第二组题.第二组题为画中有诗，该环节共有三道题，每一题答题相互独立，但难度逐级上升，小王知道第n题的诗句的概率仍为 $\frac{1}{2}$ ，但是在不知道该诗句的情况下，答对的概率为 ${(\frac{1}{2})}^{n}$ ，已知每一题答对的得分表如下（答错得分为0）：
题号
第1题
第2题
第3题
得分
2分
4分
6分
若获得8分及以上则挑战成功，求小王挑战成功的概率.

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2、现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（）

A、共有 $4^{5}$ 种不同的放法 B、恰有两个盒子不放球，共有360种放法 C、每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有18种 D、将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有120种

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3、盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（）

A、 $\frac{4}{35}$ B、 $\frac{24}{35}$ C、 $\frac{4}{125}$ D、 $\frac{24}{125}$

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4、已知函数 $f (x) = x^{2} (x - c)$ 在 $x = - 2$ 处有极值，则实数 $c$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 3$ D、 $3$

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，下顶点为A，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $P, Q$ 是椭圆 $C$ 上的动点，且当 $P F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ 时， $|P F_{1}| = 1$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $∠ P A Q$ 的平分线经过点 $F_{1}$ ，
①证明：直线 $P Q$ 恒过定点；
②求 $△ A P Q$ 面积的最大值.

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $b = \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 有一解 B、若 $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $b + c$ 的取值范围为 $(3, 2 \sqrt{3}]$ .

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7、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，集合 $A = \{1, 2\}$ ，集合 $B = \{2, 4, 5\}$ ，则 $A \cup B =$ ．

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8、下列命题中正确的是（）

A、函数 $f (x) = a^{x - 4} + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $(4, 2)$ B、命题：“ $\forall x \geq 0, x^{2} \geq 0$ ”的否定是“ $\exists x < 0, x^{2} < 0$ ” C、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 3)$ ，则 $f (2 x + 1)$ 定义域为 $[- 1, 7)$ D、若函数 $f (x - 1) = x^{2} - 3 x$ ，则 $f (x) = x^{2} - x - 2$

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9、“ $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”是“ $α = \frac{π}{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知 $l, m, n$ 是不同的直线， $α, β, γ$ 是不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m$ $∥$ $α ， n$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $n$ B、若 $m$ $∥$ $α ， α$ $∥$ $β$ ，则 $m$ $∥$ $β$ C、若 $m ， n$ 为异面直线且 $m \subset α ， n \subset β ， α \cap β = l$ ，则 $l$ 与 $m ， n$ 中至少一条相交 D、若 $α ⊥ β ， m ⊥ α ， m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ β$

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且 $∠ P A D = \frac{π}{2}$ ， F为棱PC上的点（异于端点），平面ADF与棱PB交于点E．

(1)、求证： $E F / /$ 平面ABCD．

(2)、若 $\frac{P E}{E B} = \frac{4}{5}$ ，且平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，求异面直线PB与DF所成角的余弦值．

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12、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\sqrt{3} b \cos C - \sqrt{3} a = c \sin B$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{13}$ ， $a = 3 c$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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13、某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有种.（用数字作答）

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} - 1, x \geq 0, \\ \frac{2}{x}, x < 0, \end{array}$ $g (x) = k x - 1$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x)$ 有2个不相等的实数解，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $\{e\}$ B、 $[e, + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{8}, 0) \cup \{e\}$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{8}) \cup \{e\}$

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15、如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（）

A、 $108 - 72 \sqrt{2}$ B、 $81 - 54 \sqrt{2}$ C、 $54 - 36 \sqrt{2}$ D、 $30 - 18 \sqrt{2}$

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16、为了配合调配水资源，某市欲了解全市居民的月用水量.若通过简单随机抽样从中抽取了1000户进行调查，得到其月用水量的平均数为9吨，则可推测全市居民用户月用水量的平均数（）

A、一定为9吨 B、高于9吨 C、约为9吨 D、低于9吨

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17、已知向量 $\vec{a} = (3 + λ, 4 λ)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- \frac{24}{5}$ B、 $\frac{24}{5}$ C、 $- \frac{32}{5}$ D、 $\frac{32}{5}$

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18、已知复数 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = 1 - \sqrt{3} i$ ，则（）

A、 $|z_{1}| < |z_{2}|$ B、 $|z_{1}| > |z_{2}|$ C、 $z_{1} > z_{2}$ D、 $z_{1} < z_{2}$

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19、已知集合 $A = \{x |\frac{1}{x} < 2\}$ ，集合 $B = \{- 2, - 1, 0, 6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{6\}$ B、 $\{- 2, - 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 6\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 6\}$

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20、已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线 $y = \frac{4}{3} x$ 上.
（1）求 $\frac{2 \sin (π + α) + \cos (- α)}{\cos (α - \frac{π}{2}) - \sin (\frac{3 π}{2} + α)}$ 的值；
（2）若 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\tan β$ 的值.

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题号	第1题	第2题	第3题
得分	2分	4分	6分