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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 3 n .$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} a_{n + 1}} + 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$

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2、甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表.
机床
品级
合计
一级品
二级品
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400

(1)、甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

(2)、依据小概率值 $α = 0.010$ 的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异.
附：χ²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$ .
α
0.050
0.010
0.001
x_α
3.841
6.635
10.828

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3、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{\ln x}{x} + \frac{a}{x} - 1$ ，若在 $(1, f (1))$ 处的切线斜率为 $- 1$ ，则 $a =$ ；若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为

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4、若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为．

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5、设正整数 $m = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2^{1} + \dots + a_{n - 1} \cdot 2^{n - 1} + a_{n} \cdot 2^{n}$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (i = 0, 1, \dots, n)$ ，记 $S (m)$ 为上述表示中 $a_{i}$ 为1的个数．例如： $5 = 1 \cdot 2^{0} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{2}$ ，所以 $S (5) = 2$ ．已知集合 $A = \{1, 2, 3, \dots, 2^{n} - 1\}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $S (20) = 2$ B、对任意的 $m \in A$ ，有 $S (m) + S (2^{n} - m) = n$ C、若 $m \in A$ ，则使 $S (m) = k (k \in N^{*}, 1 \leq k \leq n)$ 成立的 $m$ 的取值个数为 $C_{n}^{k}$ D、 $\sum_{m = 1}^{2^{n} - 1} S (m) = n \cdot 2^{n - 1}$

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6、已知离数型随机变量X的分布列如下表所示：
X
0
1
2
P
$0.36$
$1 - 2 q$
$q^{2}$
下列说法正确的是（）

A、 $q = 1.8$ B、 $q = 0.2$ C、 $E (X) = 0.68$ D、 $D (X) = 0.2976$

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7、下列说法正确的是（）

A、利用 $χ^{2}$ 进行独立性检验时， $χ^{2}$ 的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B、在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C、样本相关系数r的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当r越小，成对样本数据的线性相关程度越弱 D、用决定系数 $R^{2}$ 来比较两个模型的拟合效果． $R^{2}$ 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

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8、下列四组数据中，方差最小的为（）

A、31，22，39 B、30，46，25 C、40，18，30 D、37，42，33

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9、设函数 $f (x) = \frac{e^{x} + 3 cos x}{1 - x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{16}{5}$

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10、下列命题错误的是（）

A、有一组数据为 $3$ 、 $3$ 、 $8$ 、 $4$ 、 $2$ 、 $7$ 、 $10$ 、 $18$ ，则它们的第 $50$ 百分位数为 $5.5$ B、线性回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、设 $ξ ~ N (1, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 0) = 0.2$ ，则 $P (1 < ξ < 2) = 0.2$ D、随机变量 $ξ ~ B (n, p)$ ，若 $E (ξ) = 30$ ， $D (ξ) = 20$ ，则 $n = 90$

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11、下列说法正确的是（）

A、中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有24种 B、从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8 C、一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有20种 D、从1，2，3，4，5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为60

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12、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $S_{4} = 0$ ， $a_{5} = 5$ ，则（）

A、 $S_{n} = 2 n^{2} - 8 n$ B、 $S_{n} = \frac{1}{2} n^{2} - 2 n$ C、 $a_{n} = 3 n - 10$ D、 $a_{n} = 2 n - 5$

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13、下列图中，线性相关性系数最大的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、计算 $C_{7}^{5} + 2 A_{5}^{2}$ 的值是（）

A、41 B、61 C、62 D、82

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15、如图，宽为 $a$ 的走廊与另一宽为 $b$ 的走廊垂直相连，两走廊交汇处形成直角拐点M.细杆 $A B$ 需保持水平状态通过拐点M，且在移动过程中两端始终与两侧墙壁保持接触.设细杆与外侧走廊的夹角 $∠ A B O = θ$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、设细杆 $A B$ 的长度为 $f (θ)$ ，求 $f (θ)$ 的表达式；

(2)、若 $a = 1$ ， $b = 2$ ，试问：长度为5的细杆能否水平地通过拐角?请说明理由；

(3)、若 $a = b$ ，试问：长度为 $2 \sqrt{2} a$ 的细杆能否水平地通过拐角?请说明理由.

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16、如图1，内壁光滑且透明的正方体容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内注有一定量的水，已知正方体容器棱长为4，容器厚度不计.当其水平放置时，水面恰好过 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点E，F，G，H.现在固定容器一边 $B C$ 于水平地面，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，水面的形状也不同.容器绕 $B C$ 从图1的放置状态旋转至水面第一次过棱 $A D$ 的过程中（不包括起始和终止位置），水面与棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 分别交于点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ .假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.

(1)、证明： $A A_{2} + B B_{2}$ 是定值；

(2)、已知水面 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 是矩形面，求水面 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 面积的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - 2 x) - \cos (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、记锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $f (\frac{A}{2}) = 2$ ， $a = 1$ ， $b^{2} + c^{2} = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D$ ， $A C \cap B D = E$ ，点 $F$ 在棱 $P C$ 上，且 $P F = 2 F C$ .

(1)、证明： $P A / /$ 平面 $B D F$ ；

(2)、若 $B C = D C = 6$ ，三棱锥 $B - C D F$ 的体积为6，求点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离.

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, x)$ ， $\vec{c} = (2, y)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ .

(1)、求向量 $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{m} = - 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ .
（i）求 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角 $θ$ ；
（ii）求向量 $\vec{m}$ 在向量 $\vec{n}$ 上的投影向量的坐标.

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20、定义平面非零向量之间的一种运算“*”，记 $\vec{a} * \vec{b} = (\cos θ) \cdot \vec{a} + (\sin θ) \cdot \vec{b}$ （其中 $θ$ 是非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角），若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 均为单位向量，且 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = - \frac{1}{2}$ ，则 $|(4 \vec{e_{1}}) * (2 \sqrt{3} \vec{e_{2}})| =$ .

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机床	品级		合计
机床	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

α	0.050	0.010	0.001
x_α	3.841	6.635	10.828

X	0	1	2
P	$0.36$	$1 - 2 q$	$q^{2}$