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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x ln (x + a - 1), g (x) = e^{x} + cos x - 1$ ，其中 $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数.

(1)、当 $a = 1$ 时，若过点 $(m, m)$ 与函数 $f (x)$ 相切的直线有两条，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $0 \leq a \leq 1$ ，当 $x > 1 - a$ 时，证明： $f (x) < g (x)$ .

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2、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a$ .

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3、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，点M，N分别为线段 $A B$ ， $C D$ 上的动点，沿 $D M$ 将 $△ A D M$ 翻折至 $△ A^{'} D M$ ，若点C在平面 $A^{'} D M$ 内的射影恰好落在直线 $D M$ 上，则当线段 $A^{'} N$ 最短时，三棱锥 $A^{'} - C M N$ 的体积为.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $0 < a_{1} < 1, e^{a_{n + 1}} = (3 - a_{n}) \cdot e^{a_{n}}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 B、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} < 0$ C、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} > 2$ D、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} > \frac{4}{3}$

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5、设随机变量X~N(0，1)， $f (x) = P (X \leq x)$ ，其中x>0，则下列等式成立的有（）

A、f(-x)=1-f(x) B、 $f (2 x) = 2 f (x)$ C、f(x)在(0，+∞)上是单调增函数 D、 $P (|X| \leq x) = 2 f (x) - 1$

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6、已知两个复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} = i$ ，且 $z_{1} = 1 - i$ ，则下面选项正确的是（）

A、 $z_{2} = \frac{1 + i}{2}$ B、 $|z_{1}| = \frac{1}{|z_{2}|}$ C、 $|z_{1} + z_{2}| \geq 2$ D、 ${\bar{z}}_{1} {\bar{z}}_{2} = - i$

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点.若 $△ A B F_{1}$ 的内切圆的周长为 $\frac{4 \sqrt{5} π}{9}$ ，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}$ 或 $y = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} x$ B、 $y = 3 x - 3$ 或 $y = 3 - 3 x$ C、 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 或 $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x$ D、 $y = 2 x - 2$ 或 $y = 2 - 2 x$

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8、在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $△ A B C$ 的面积是 $△ A C D$ 的面积的2倍.若存在正实数 $x, y$ 使得 $\vec{A C} = (\frac{1}{x} - 4) \vec{A B} + (1 - \frac{1}{y}) \vec{A D}$ 成立，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、函数 $f (x) = (\frac{1}{x} - x) cos x (- π \leq x \leq π$ 且 $x \neq 0)$ 的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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10、如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）

A、24种 B、48种 C、72种 D、96种

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11、若 $cos (α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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12、某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（）

A、样本中对平台一满意的消费者人数约700 B、总体中对平台二满意的消费者人数为18 C、样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60 D、若样本中对平台三满意的消费者人数为120，则 $m = 90 %$

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13、已知命题 $p : \forall n \in N^{*}, n^{2} > n - 1$ ，则命题 $p$ 的否定 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall n \in N^{*}, n^{2} < n - 1$ B、 $\forall n \in N^{*}, n^{2} \leq n - 1$ C、 $\exists n \in N^{*}, n^{2} < n - 1$ D、 $\exists n \in N^{*}, n^{2} \leq n - 1$

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14、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 2 ＜ 0\} ， B = \{x | \log_{\frac{1}{2}} x ＜ 1\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （），

A、 $(- 1, \frac{1}{2}]$ B、 $(- 1, \frac{1}{2})$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $[\frac{1}{2}, 1)$

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15、已知集合 $M_{n} = \{(x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{2^{n - 1}}, x_{2^{n}}) |x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 2^{n} - 1, 2^{n}\} (n \in N^{*})$ ，对于 $X = (x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{2^{n} - 1}, x_{2^{n}})$ ， $Y = (y_{1}, y_{2}, \cdot \cdot \cdot, y_{2^{n} - 1}, y_{2^{n}}) \in M_{n}$ ，定义 $d (X, Y) = \sum_{i = 1}^{2^{n}} |x_{i} - y_{i}|$ ．

(1)、已知 $X = (1, 0, 1, 0) \in M_{2}$ ，求所有的 $Y \in M_{2}$ ，使得 $d (X, Y) = 3$ ：

(2)、已知 $X, Y, Z \in M_{n}$ ，求证： $d (X, Y) + d (Y, Z) - d (Z, X)$ 为偶数；

(3)、已知 $A = \{X_{1}, X_{2}, \cdot \cdot \cdot, X_{k}\} \subseteq M_{6}$ ，对任意 $1 \leq i < j \leq k$ ，均有 $d (X_{i}, X_{j}) \geq 32$ ，求 $k$ 的最大值．

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16、已知函数 $f (x) = m x + \log_{4} (4^{x} + 1)$ 是偶函数．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $f (x) - t > \frac{1}{2} x$ 对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = 4^{f (x) + \frac{1}{2} x} - a \cdot 2^{x + 1} + a^{2} - 5$ 在 $R$ 上存在 $x_{0}$ ，使得 $g (- x_{0}) = - g (x_{0})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、已知线段 $B D$ 、 $A C$ 交于点 $O$ ，且 $B O = O D = \sqrt{3}$ ， $∠ B O C = \frac{π}{6}$ ， $B C = A D$ ．

(1)、若 $O A \neq O C$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、若 $A + C = π$ 且 $\cos 2 A + \sqrt{3} \sin 2 A = 4 - 6 \sin B$ ，求 $O C$ 的长．

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18、已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6}) - 2 \sin^{2} x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的对称轴；

(2)、若函数 $y = f (\frac{ω}{2} x) (ω > 0)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，求 $ω$ 的取值范围．

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19、设集合 $A = \{x |x^{2} + x - 6 < 0\}$ ， $B = \{x |2 - a < x < 3 a - 2\}$ ．

(1)、若 $a = 3$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、设函数 $f (t)$ 在 $[0, 1]$ 上有定义，且满足以下性质：① $f (t) + f (1 - t) = 1$ ， ② $f (t) = 2 f (\frac{t}{3})$ ．则 $f (\frac{26}{27}) =$ ．

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