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相关试卷

1、博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为 $P_{1}, P_{2}$ ，则 $P_{1} + P_{2} =$ .

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2、已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{\log_{2} x + 1}$ ，若 $f (2) = 1$ ，则 $a =$ ．

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3、在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为侧面 $A A_{1} D_{1} D$ 内一动点，满足 $B_{1} F / /$ 平面 $B C_{1} M$ ，则（）

A、三棱锥 $A - A_{1} B C$ 的外接球表面积为 $27 π$ B、三棱锥 $F - B C_{1} M$ 的体积是定值 C、动点 $F$ 的轨迹是一条圆弧，长度为 $\frac{9 π}{16}$ D、动点 $F$ 的轨迹是一条线段，长度为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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4、若 $P (A B) = \frac{1}{9}$ ， $P (\bar{A}) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、事件A与B不互斥 B、事件A与B对立 C、事件A与B相互独立 D、事件A与B既互斥又独立

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5、设 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ．若对任意 $x \in [a, a + 2]$ ，均有 $f (x + a) \geq f^{2} (x)$ ，则（）

A、 $a \geq \frac{3}{2}$ B、 $a \geq - \frac{3}{2}$ C、 $a \leq \frac{3}{2}$ D、 $a \leq - \frac{3}{2}$

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6、已知圆O是单位圆，点P在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，过点 $A (1, 0)$ ， $B (0, 1)$ 的切线与OP于点T，S．设 $∠ A O P = x$ ，定义： $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ ，则（）

A、 $\cot x = O T$ B、 $\cot x = P S$ C、 $\cot x = O S$ D、 $\cot x = B S$

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7、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a + 2) x + 1, x \geq 1, \\ \frac{1}{2} a x^{2} - a x + 1, x < 1 \end{array}$ 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \frac{4}{3}, 0)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $[- \frac{4}{3}, 0)$ D、 $[- 2, 0)$

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8、已知a，b是两条直线， $α$ ， $β$ 是两个平面，则“ $a ⊥ b$ ”的一个充分条件是（）

A、 $a ⊥ α$ ， $b // β$ ， $α ⊥ β$ B、 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $α // β$ C、 $a \subset α$ ， $b ⊥ β$ ， $α // β$ D、 $a \subset α$ ， $b // β$ ， $α$ 与 $β$ 相交

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9、在 $△ A B C$ 中， $A D = \frac{2}{3} A B$ ，点 $E$ 平分线段 $C D$ ．设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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10、在复平面内，复数z对应的点的坐标为 $(1, - 2)$ ，则 $|z + 1| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、3 D、 $\sqrt{5}$

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11、已知集合 $A = \{x |(x + 1) (x - 3) \leq 0\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $\{0, 1\}$

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12、如图，圆 $C$ 的半径为2.

(1)、设 $A B$ 为圆 $C$ 的一条弦，如图①，当 $∠ C A B = 60 °$ 时，
（i）当 $t$ 取何值时， $|\vec{A C} - t \vec{A B}|$ 取得最小值，并求出此最小值；
（ii）设 $M$ 是圆 $C$ 上的一动点，求 $\vec{A M} \cdot \vec{A B}$ 的最大值；

(2)、设 $P Q$ 、 $P R$ 为圆 $C$ 的两条弦，如图②，已知 $∠ Q P R = 60 °$ ，求 $\vec{P Q} \cdot \vec{P R}$ 的最大值.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E$ 为线段 $B C$ 的中点， $F$ 为线段 $P B$ 上的动点.

(1)、当 $F$ 为线段 $P B$ 的中点时，
（ⅰ）求证： $A F ⊥$ 平面 $P B C$ ；
（ⅱ）求二面角 $F - A E - B$ 的余弦值：

(2)、在线段 $P B$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $P D //$ 平面 $A E F$ ，若存在，求出此时 $\frac{P F}{F B}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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14、在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = 3$ ， $B = 45 °$ .

(1)、求 $sin C$ 的值；

(2)、取一点 $D$ ，使得 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求点 $C$ 到直线 $A D$ 的距离.

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15、某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷测试，将这100名学生测试的得分按 $[75, 80)$ ， $[80, 85)$ ， $[85, 90)$ ， $[90, 95)$ ， $[95, 100]$ 分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、估计样本的中位数与平均数；

(3)、如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？

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16、已知 $1 - 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，其中 $p, q \in R$ ， .

(1)、求 $p$ 、 $q$ 的值；

(2)、在复数范围内，求该方程的另一根.

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17、已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为3，6，侧棱长为2，则该三棱台的外接球的表面积为.

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18、在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边， $A = \frac{π}{3}$ ， $b = 4$ ，若该三角形有两个解，则边 $a$ 的长的取值范围为.

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19、计算： $\frac{1 + 2 i}{i} =$ .

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20、群的概念由法国天才数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.
群的定义如下：设 $G$ 是一个非空集合，“*”是 $G$ 上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①封闭性：对任意的 $a$ ， $b \in G$ ，有 $a * b \in G$ ；
②结合律成立：对任意的 $a$ ， $b$ ， $c \in G$ ，有 $(a * b) * c = a * (b * c)$ ；
③单位元存在：存在 $e \in G$ ，使得对任意的 $a \in G$ ，有 $e * a = a * e = a$ ， $e$ 称为单位元；
④逆元存在：对任意的 $a \in G$ ，存在 $b \in G$ ，使 $a * b = b * a = e$ ，称 $a$ 与 $b$ 互为逆元.
则称 $G$ 关于“*”新构成一个群.则下列结论正确的有（）

A、自然数集 $N$ 关于数的加法构成群 B、某一平面上的所有向量组成的集合关于向量的加法构成群 C、 $G = \{- 1, 1, - i, i\}$ （ $i$ 为虚数单位）关于复数的乘法构成群 D、 $G = \{a + \sqrt{2} b |a, b \in Q, a b \neq 0\}$ 关于数的乘法构成群

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