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相关试卷

1、已知棱长为 $\sqrt{3}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心为 $O$ ，若球 $O$ 的球面与该正方体的棱有公共点，则球 $O$ 的表面积的取值范围是（）

A、 $[3 π, 6 π]$ B、 $[3 π, 9 π]$ C、 $[6 π, 9 π]$ D、 $[6 π, 12 π]$

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2、设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则（）

A、 $f (- \log_{2} 3) < f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}] < f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}]$ B、 $f (- \log_{2} 3) < f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}] < f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}]$ C、 $f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}] < f (- \log_{2} 3) < f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}]$ D、 $f [{(\frac{2}{5})}^{\frac{3}{5}}] < f [{(\frac{3}{5})}^{\frac{2}{5}}] < f (- \log_{2} 3)$

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3、函数 $f (x)= \frac{x^{3}}{2^{x} + 2^{− x}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4、若平面向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, 3 x - 1)$ ，若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，则 $x =$

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、1或 $- \frac{2}{3}$ D、1或 $\frac{1}{5}$

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5、若复数z满足 $(- 1 + i) z = 1 + 2 i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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6、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | x \leq - 1$ 或 $x \geq 3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a x + c < 0$ 的解集为 $\{x |x < 3\}$ C、 $8 a + 4 b + 3 c < 0$ D、 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |- 1 < x < \frac{1}{3}\}$

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7、锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = \sqrt{3}$ 且 $2 c = 2 a cos B + b$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求三角形 $A B C$ 周长的取值范围；

(3)、求三角形 $A B C$ 面积的最大值.

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8、已知 $\cos β = \sqrt{2} \cos (2 α + β)$ ，且 $α + β \neq \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$ ，则 $\tan (α + β) \tan α =$ .

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9、在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响.

(1)、已知在安静环境下，语音识别成功的概率为 $0.8$ ；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 .
（i）求测试结果为语音识别成功的概率；
（ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率；

(2)、已知当前每次测试成功的概率为 $0.7$ ，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案?

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10、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 在点 $P (1, 2)$ 处的切线斜率为4，且在 $x = - 1$ 处取得极值．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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11、函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} - a$ ，若函数 $f (x)$ 有2个零点，则a的取值范围.

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12、若函数 $f (x) = k x + ln (2 x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围为.

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13、已知随机变量 $X ~ N (3, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 2) + P (X \geq 4) = 0.6$ ，则 $P (3 \leq X < 4) =$ .

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14、设随机变量 $X \sim B (10, p)$ ，若 $E (X) = 6$ ，则 $D (5 X - 4) =$ （）

A、60 B、56 C、12 D、8

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15、函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} - 3}$ 在 $[2, + \infty)$ 上的最小值为（）

A、 $- \frac{e^{3}}{6}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{e^{3}}{6}$ D、1

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16、 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{10}$ 的展开式的常数项为（　　）

A、210 B、252 C、 $- \frac{63}{8}$ D、 $\frac{105}{32}$

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17、已知函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，且 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = 2$ ，则 $f^{'} (x_{0}) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、2

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18、已知各项均为正整数的数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}, \{c_{n}\}$ 满足 $c_{n + 1} = a_{n}, a_{n}^{2} = b_{n}^{2} + c_{n}^{2}, b_{n} > c_{n}$ .

(1)、若 $b_{2} = 3 b_{1} = 4 c_{1}$ ，求 $\frac{c_{3}}{a_{1}}$ ；

(2)、已知 $a_{1} = 5$ .
（i）求 $c_{4}$ ；
（ii）证明： $a_{n} - b_{n}$ 可以为定值，且当 $a_{n} - b_{n}$ 为定值时， $\frac{1}{b_{1} + 2} + \frac{1}{b_{2} + 2} + \dots \frac{1}{b_{n} + 2} < \frac{1}{4}$ .

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C, G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $A_{1} G ⊥$ 平面 $A B C, B C = 6$ ，记二面角 $A - B C - A_{1}$ 与 $A - B C - C_{1}$ 的大小分别为 $α, β$ .

(1)、当 $A A_{1} = 4$ 时， $A B = A C$ 时.
（i）证明： $A_{1} B = A_{1} C$ ；
（ii）求 $cos (β - α)$ ；

(2)、若 $β = 2 α$ ，求 $A A_{1}$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = a^{x} + 4^{x} (a > 0)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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