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相关试卷

1、设函数 $f (x) = e^{x} - \ln (x + m)$ ．

(1)、若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $m$ 的值，并讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $m = 2$ 时，求证： $f (x) > 0$ ．

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2、已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之和是21，

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中项系数最大的项.

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3、据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）

(1)、若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？

(2)、从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；

(3)、若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.

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4、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x$ ．

(1)、求曲线 $f (x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程．

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上的最大值和最小值．

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5、设实数 $λ > 0$ ，若对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $λ e^{λ x} - \ln x \geq 0$ 恒成立，则 $λ$ 的取值范围为．

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6、为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，坪山高级中学教育集团选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有种

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7、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (10, 2^{2})$ ，则 $D (3 X - 1)$ ＝

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8、设 ${(2 x - 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} x^{6} + a_{7} x^{7}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} + a_{5} = 588$ B、 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} = 1$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} = \frac{1 + 3^{7}}{2}$ D、 $|a_{1}| + |a_{2}| + \cdot \cdot \cdot + |a_{7}| = 3^{7} - 1$

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9、下列求导正确的是（）

A、 ${(e^{2 x})}^{'} = 2 e^{x}$ B、 ${(3 x + 1)}^{'} = 3$ C、 ${(\sqrt{2 x})}^{'} = \frac{1}{\sqrt{2 x}}$ D、 ${(x sin x)}^{'} = \sin x + x \cos x$

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10、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $x f^{'} (x) + f (x) > 0$ ，则不等式 $x^{2} f (x^{2}) - f (1) < 0$ 的解集为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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11、某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（）

A、0.48 B、0.52 C、0.56 D、0.65

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12、 $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + \dots + C_{10}^{2}$ 等于（）

A、990 B、165 C、120 D、55

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13、函数 $f (x) = x^{2} + 2 x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (0)$ 等于( )

A、1 B、2 C、3 D、－4

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14、满足 $C_{16}^{x^{2} - x} = C_{16}^{5 x - 5}$ 的正整数 $x$ 等于（）

A、1，5 B、3， $- 7$ C、1，3 D、5， $- 7$

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15、如果随机变量 $X ~ N (4, 1)$ ，则 $P (X \leq 2)$ 约等于（　　）
（注： $P (μ - 2 δ \leq X \leq μ + 2 δ) = 0.9545$ ）

A、0.210 B、0.0228 C、0.0456 D、0.0215

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16、已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{2}{9}$

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17、为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70％．
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
不经常整理
合计

(1)、求图1中m的值；

(2)、根据图1、图2中的数据，补全上方 $2 \times 2$ 列联表，根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5％的前提下，可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？

(3)、用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$α = P (χ^{2} \geq k)$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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18、在函数性质学习过程中，我们可以总结出一些常见奇偶性函数模型，例如：奇函数：①函数 $f (x) = m (\frac{a^{x} + 1}{a^{x} - 1}) (x \neq 0)$ 或函数 $f (x) = m (\frac{a^{x} - 1}{a^{x} + 1})$ ． ②函数 $f (x) = \pm (a^{x} - a^{- x})$ ． ③函数 $f (x) = \log_{a} \frac{x + m}{x - m}$ 或函数______________________．偶函数：①函数 $f (x) = \pm (a^{x} + a^{- x})$ ． ②函数 $f (x) = \log_{a} (a^{m x} + 1) - \frac{m x}{2}$ ． ③函数 $f (| x |)$ 型，等等．对于奇偶函数也有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×（÷）奇=偶；奇×（÷）偶=奇；偶×（÷）偶=偶．请根据所学函数的有关知识，结合以上内容，完成下面问题：

(1)、类比奇函数①中的函数模型，在奇函数③中补充一个函数．

(2)、若 $f (x) = (x + a) \ln \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ 为偶函数，求a的值．

(3)、已知函数 $g (x) = \ln \frac{1 - x}{x + 1}$ ，若 $g (m) + g (m + 1) < g (0)$ ，求m的取值范围

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19、在下列三个条件中任选一个合适的条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于50；
条件②：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件③：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ ，若_____________，求：

(1)、求n和展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求 $(2 + x^{2}) {(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数．

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20、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |\frac{x - 4}{x + 1} < 0\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 < 0\}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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经常整理
不经常整理
合计

$α = P (χ^{2} \geq k)$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
k	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828