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相关试卷

1、已知 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（）

A、 $n = 8$ B、展开式的各项系数的和为 $\frac{1}{32}$ C、展开式中奇数项的二项式系数的和为128 D、展开式的常数项为第5项

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2、定义在 $[- 1, 3]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得最小值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值

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3、南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设 $a$ 、 $b$ 、 $m (m > 0)$ 为整数，若 $a$ 和 $b$ 被 $m$ 除得余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b (\mod m)$ ．已知 ${(2 x - 1)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{2025} x^{2025} (x \in R)$ ，若 $a = |a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + \dots + |a_{2025}|$ ， $a \equiv b (\mod 4)$ ，则 $b$ 的值可以是（）

A、 $2023$ B、 $2024$ C、 $2025$ D、 $2026$

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4、已知 $a = \frac{1}{8}$ ， $b = ln \frac{5}{4}$ ， $c = sin \frac{1}{8}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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5、设直线 $y - 1 = (n + 1) (x - 1)$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_{n}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} \cdot \dots \cdot x_{2024} =$ （）

A、 $\frac{2025}{2026}$ B、 $\frac{1}{2024}$ C、 $\frac{1}{2025}$ D、 $\frac{1}{2026}$

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6、已知函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则下列式子正确的是（）

A、 $f^{'} (3) > f^{'} (2)$ B、 $f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ C、 $f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ D、 $f (3) - f (2) < 0$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ ，记 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，则 $f (1) + f^{'} (1) =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8、已知 ${(1 + 3 x)}^{n}$ 的展开式共有9项，则 $n$ 的值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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9、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = k P A$ ，点 $O$ ， $D$ 分别是 $A C$ ， $P C$ 的中点. $O P ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、求证： $O D / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当 $k$ 取何值时， $O$ 在平面 $P B C$ 内的射影恰好为 $△ P B C$ 的重心？

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10、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} (b \cos C + c \cos B) = 2 a \sin A$

(1)、求锐角 $A$ 的大小；

(2)、在（1）的条件下，若 $\sin C = \cos C$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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11、如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为.

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12、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} = - 2$ ， $S_{7} = 14$ ，则 $a_{10} =$ .

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13、法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上异于 $A_{1}, A_{2}$ 的动点，点 $Q$ 是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（）

A、该椭圆的蒙日圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 35$ B、存在点 $Q$ 使 $△ F_{1} Q F_{2}$ 的面积为25 C、使 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}$ 的点 $P$ 有四个 D、直线 $P A_{1}, P A_{2}$ 的斜率之积 $k_{P A_{1}} \cdot k_{P A_{2}} = - \frac{2}{5}$

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14、下列说法正确的是（）

A、若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，若函数 $f (x) = P (x \leq ξ \leq x + 1)$ 为偶函数，则 $μ = \frac{1}{2}$ B、数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8 C、已知 $0 < P (M) < 1$ ， $0 < P (N) < 1$ ，若 $P (M| N) + P (\bar{M}) = 1$ ，则 $M$ ， $N$ 相互独立 D、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 3.937$ 依据 $α = 0.05$ 的独立性检验（ $X_{0.05} = 3.841$ ），可判断 $X$ 与 $Y$ 有关且犯错误的概率不超过0.05

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15、若关于 $x$ 的方程 $\log_{\frac{1}{3}} (a - 3^{x}) = x - 2$ 有解，则实数 $a$ 的最小值为

A、4 B、6 C、8 D、2

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16、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，若方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $(0, 2 π)$ 上恰有3个实数根，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{25}{24}, \frac{31}{24})$ B、 $(\frac{31}{24}, \frac{37}{24}]$ C、 $(\frac{31}{24}, \frac{47}{24}]$ D、 $(\frac{31}{24}, \frac{61}{24})$

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17、已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的减函数，且 $f (x - 1) < f (1 - 3 x)$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}]$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $[0, \frac{1}{2})$ D、 $[0, \frac{2}{3}]$

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18、已知复数 $z$ 满足 $\frac{z - 1}{1 + 2 i} = \frac{2}{i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $5 + 2 i$ B、 $5 - 2 i$ C、 $4 + 2 i$ D、 $4 - 2 i$

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19、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，若对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (k x) = k f (x)$ ， $(k \geq 2, k \in N^{*})$ 成立，则称 $f (x)$ 为 $k$ 阶伸缩函数.

(1)、若函数 $f (x)$ 为2阶伸缩函数，且当 $x \in (1, 2]$ 时， $f (x) = x^{3} + {log}_{\frac{1}{2}} x$ ，求 $f (2 \sqrt{2})$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 为3阶伸缩函数，且当 $x \in (1, 3]$ 时， $f (x) = \sqrt{3 x - x^{2}}$ 求证：函数 $y = f (x) - \sqrt{2} x$ 在 $(1, + \infty)$ 上无零点；

(3)、若函数 $f (x)$ 为 $k$ 阶伸缩函数，且当 $x \in (1, k]$ 时， $f (x)$ 的取值范围是 $[0, 1)$ ，求 $f (x)$ 在 $(0, k^{n + 1}] (n \in N^{*})$ 上的取值范围.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $A B$ ， $P D$ ， $P C$ 的中点.

(1)、若 $A D = P A$ ，求证： $A F ⊥$ 平面 $P D C$ ；

(2)、若二面角 $P - E C - D$ 的正切值为 $\sqrt{2}$ ，且 $A D = \sqrt{2}$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求 $E G$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值.

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