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相关试卷

1、已知i为虚数单位，复数 $z = \frac{i}{1 - i} - 1$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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2、对于一个集合 $A$ ，如果 $\forall x, y \in A$ ，且 $x \neq y$ ，记 $B$ 为 $A$ 去掉 $x, y$ 后的集合，若有 $x + y \in B$ 或 $| x - y | \in B$ ，我们就称 $A$ 是一个梦想集合.回答下列问题：

(1)、写出一个常数，使得集合 $\{2, 3\}$ 在添加其作为元素后形成新的集合为梦想集合；

(2)、给定正偶数 $n$ 和 $k$ ，且 $n \geq 4$ ，判断集合 $A = {t k ∣ 1 \leq t \leq n, t \in Z}$ 是否为梦想集合，若是，给出证明；若不是，说明理由；

(3)、证明：不存在有限的梦想集合 $A$ ，满足 $A$ 中的元素均为正实数，且 $A$ 中的元素个数为大于 $5$ 的奇数.

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{2}{x}, x < 0 \\ - x, 0 \leq x < 2 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 3 x, x \geq 2 \end{array}$ ．

(1)、求 $f (0)$ ， $f (2)$ ， $f (f (2))$ 的值；

(2)、若 $f (m) = - 1$ ，求 $m$ 的值；

(3)、作出函数 $f (x)$ 的大致图象，并求 $x > 1$ 时， $f (x)$ 的值域．

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4、计算：

(1)、 ${(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(\sqrt[5]{- 2})}^{5} - \sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ；

(2)、 $5^{\log_{5} 2} + \lg \frac{1}{10} + \lg 2 - \lg 0.2$ .

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5、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，且函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - 1) x + 5, x \in (- \infty, 2) \\ a^{x}, x \in [2, + \infty) \end{array}$ 在定义域上单调，则a的取值范围是．

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6、若函数 $f (x)$ 是R上的奇函数，则函数 $y = f (x - 1) + 1$ 的图象必过定点．

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7、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y (x + y)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、若 $f (1) = 0$ ，则当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) > 0$ D、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ， $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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8、土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量 $m$ (单位： $mg / L)$ 与时间 $t$ (单位： $h$ )满足关系式 $m (t) = \frac{a}{e^{b t}}$ ，已知处理 $1 h$ 后，重金属含量减少 $20 %$ ，则（） $(\lg 2 \approx 0.301$ )

A、 $a$ 表示未经处理时土壤中的重金属含量 B、 $b$ 的值为 $\ln 0.8$ C、使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约 $2 h$ D、函数 $m (t)$ 为减函数

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9、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ ， $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} < 1$ ，则不等式 $f (2 x) - f (5 - x) < 5 - 3 x$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{5}{3}, 0)$ B、 $(0, \frac{5}{3})$ C、 $(- \infty, \frac{5}{3})$ D、 $(\frac{5}{3}, + \infty)$

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10、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = |x|$ D、 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2}, x \geq 0 \\ - x^{2}, x < 0 \end{array}$

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11、设 $a = 2^{0.1}$ ， $b = {(0.5)}^{0.8}$ ， $c = {(0.5)}^{0.5}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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12、已知集合 $A = \{x \in Z |- 2 < x < 4\}$ ， $B = \{x |0 < x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 1\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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13、命题“ $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x^{2} > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x^{2} \leq 0$ B、 $\forall x \in (- \infty, 0]$ ， $x^{2} > 0$ C、 $\exists x \in (- \infty, 0]$ ， $x^{2} > 0$ D、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $x^{2} \leq 0$

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14、已知全集 $U = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ， $A = \{x |x^{2} = x\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 2\}$ C、 $\{- 1, 2\}$ D、 $\{0, 1\}$

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15、已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 及直线 $l : y = k x - 1$ .

(1)、若 $l$ 与 $C$ 有两个不同的交点，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $O$ 是坐标原点，且 $△ O A B$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，求实数 $k$ 的值.

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16、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, A B$ $∥$ $C D, A D = C D = 1$ ， $∠ B A D = 120^{\circ}, ∠ A C B = 90^{\circ}$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{3}$ ，求平面 $P C D$ 与平面 $P C A$ 夹角的余弦值.

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x - 2 \ln x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, e]$ 上的最小值．

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18、若关于 $x$ 的方程 $ln (a x + \frac{b}{2}) = \sqrt{x^{2} + \frac{1}{4}}$ 有实根，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为.

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19、在 ${(x + 1)}^{5}$ 的二项展开式中，各项的系数和为.

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20、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，现将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $ω = 2$ C、函数 $y = x f (x + \frac{π}{12})$ 是奇函数 D、 $g (x) = 2 cos (2 x - \frac{π}{3})$

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