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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + \frac{1}{3} a_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {log}_{4} (1 - S_{n + 1}) (n \in N^{*})$ ， $T_{n} = \frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + \dots + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求使 $T_{n} \geq \frac{506}{1013}$ 成立的最小的正整数 $n$ 的值．

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + a x + b$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程是 $3 x + y - 2 = 0$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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3、若函数 $f (x) = x e^{x} + a x$ 有两个极值点，则 $a$ 的取值范围为

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4、甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有种.（请用数字作答）

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ ，则 $a_{6} =$ ．

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6、定义：设 $f (x)$ 为三次函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为三次函数 $y = f (x)$ 图象的“拐点”．经过探究发现：任意三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 图象的“拐点”是其对称中心．已知三次函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} + b (a \neq 0)$ 的极大值点和极小值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且有 $x_{1} + x_{2} = f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = \frac{5}{3}$ B、方程 $f (x) - 1 = 0$ 有三个根 C、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 在区间 $[0, 3]$ 上有两解，则 $t = \frac{1}{3}$ 或 $\frac{5}{3}$ D、函数 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(1, 1)$

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7、已知 ${(x - \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（）

A、 $n = 8$ B、展开式的各项系数的和为 $\frac{1}{32}$ C、展开式中奇数项的二项式系数的和为128 D、展开式的常数项为第5项

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8、定义在 $[- 1, 3]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得最小值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值

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9、南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设 $a$ 、 $b$ 、 $m (m > 0)$ 为整数，若 $a$ 和 $b$ 被 $m$ 除得余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b (\mod m)$ ．已知 ${(2 x - 1)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{2025} x^{2025} (x \in R)$ ，若 $a = |a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + \dots + |a_{2025}|$ ， $a \equiv b (\mod 4)$ ，则 $b$ 的值可以是（）

A、 $2023$ B、 $2024$ C、 $2025$ D、 $2026$

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10、已知 $a = \frac{1}{8}$ ， $b = ln \frac{5}{4}$ ， $c = sin \frac{1}{8}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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11、设直线 $y - 1 = (n + 1) (x - 1)$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $x_{n}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} \cdot \dots \cdot x_{2024} =$ （）

A、 $\frac{2025}{2026}$ B、 $\frac{1}{2024}$ C、 $\frac{1}{2025}$ D、 $\frac{1}{2026}$

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12、已知函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则下列式子正确的是（）

A、 $f^{'} (3) > f^{'} (2)$ B、 $f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ C、 $f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ D、 $f (3) - f (2) < 0$

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13、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ ，记 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，则 $f (1) + f^{'} (1) =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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14、已知 ${(1 + 3 x)}^{n}$ 的展开式共有9项，则 $n$ 的值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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15、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = k P A$ ，点 $O$ ， $D$ 分别是 $A C$ ， $P C$ 的中点. $O P ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、求证： $O D / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当 $k$ 取何值时， $O$ 在平面 $P B C$ 内的射影恰好为 $△ P B C$ 的重心？

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16、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} (b \cos C + c \cos B) = 2 a \sin A$

(1)、求锐角 $A$ 的大小；

(2)、在（1）的条件下，若 $\sin C = \cos C$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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17、如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为.

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18、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} = - 2$ ， $S_{7} = 14$ ，则 $a_{10} =$ .

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19、法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上异于 $A_{1}, A_{2}$ 的动点，点 $Q$ 是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（）

A、该椭圆的蒙日圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 35$ B、存在点 $Q$ 使 $△ F_{1} Q F_{2}$ 的面积为25 C、使 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}$ 的点 $P$ 有四个 D、直线 $P A_{1}, P A_{2}$ 的斜率之积 $k_{P A_{1}} \cdot k_{P A_{2}} = - \frac{2}{5}$

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20、下列说法正确的是（）

A、若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，若函数 $f (x) = P (x \leq ξ \leq x + 1)$ 为偶函数，则 $μ = \frac{1}{2}$ B、数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8 C、已知 $0 < P (M) < 1$ ， $0 < P (N) < 1$ ，若 $P (M| N) + P (\bar{M}) = 1$ ，则 $M$ ， $N$ 相互独立 D、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 3.937$ 依据 $α = 0.05$ 的独立性检验（ $X_{0.05} = 3.841$ ），可判断 $X$ 与 $Y$ 有关且犯错误的概率不超过0.05

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