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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x \in N |1 \leq x \leq 4\}$ ，集合 $B = \{y |y \geq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2, 4]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $\{2, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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2、英国数学家泰勒是18世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：函数 $f (x) = e^{x}$ 的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为： $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + O (x^{n})$ ， $x \in R$ ， $O (x^{n})$ 为佩亚诺余项，在解决问题时可以忽略不计．

(1)、若 $f (x) = e^{x}$ ，利用泰勒展开式证明： $f^{'} (x) = e^{x}$ ；

(2)、当 $x > 0$ 时，证明： $x e^{x} - ln x - x \geq 1$ ；

(3)、当 $x > 0$ 时，不等式 $x (x e^{2 x} - a) \geq 2 ln x + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、定义二元函数 $f (m, n) (m, n \in R)$ ，且同时满足：① $f (m, 1) = sin m$ ；② $f (m, n + 1) = f (m, n) + \frac{sin (2 m n - m)}{2 n + 1}$ 两个条件．

(1)、求 $f (\frac{π}{2}, 2)$ 的值；

(2)、当 $0 < m < π$ 时，比较 $f (m, n) (n \in N^{*})$ 和0的大小；

(3)、若 $x = 0$ 为 $g (x) = ln (1 + x) - f (x, 2) + \frac{sin x}{3} + a x^{2}$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．
附：参考公式：
$sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)]$ $cos α sin β = \frac{1}{2} [sin (α + β) - sin (α - β)]$
$cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α + β) + cos (α - β)]$ $sin α sin β = - \frac{1}{2} [cos (α + β) - cos (α - β)]$

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4、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2 A A_{1} = 2, E$ ， $F$ 分别为 $A B, C_{1} D_{1}$ 的中点， $P$ 是棱 $B C$ 上的动点（包含端点）．

(1)、请说明当点 $P$ 在何处时， $A_{1}, E, F, P$ 四点在同一平面内；

(2)、当点 $P$ 满足 $4 \vec{B P} = 3 \vec{B C}$ 时，求三棱锥 $P - A_{1} E F$ 的体积 $V_{P - A_{1} E F}$ ；

(3)、设二面角 $A_{1} - E F - P$ 的大小为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最大值．

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5、动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (1, 0)$ 的距离和点 $M$ 到定直线 $l : x = 4$ 的距离的比是常数 $\frac{1}{2}$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $m : k x - y - k = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，
（ⅰ）求 $|A B|$ 的取值范围；
（ⅱ）是否存在实数 $k$ ，使得点 $N (\frac{1}{7}, 0)$ 在线段 $A B$ 的中垂线上？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由．

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6、某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表：
生产批次
产品检测结果
合计
次品
合格品
第一批次
10
190
200
第二批次
40
260
300
合计
50
450
500

(1)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？

(2)、用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品．
（ⅰ）求取出的产品是次品的概率；
（ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$α$
0.15
0.10
0.05
0.010
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
6.635

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7、已知在各项为正的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{2} + 6$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{3}$ 的等差中项．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{n}{2} (a_{n + 1} - a_{n})$ ， $n \in N^{*}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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8、已知正四面体ABCD的棱长为 $\sqrt{2}$ ，其顶点都在球O的球面上，点M在棱CD上，且 $\vec{C M} = \frac{3}{4} \vec{C D}$ ，则过点M的平面截球O所得截面的面积最小值为．

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9、若 $\exists x_{0} \in (1, + \infty)$ ， $\frac{1}{x_{0} - 1} \leq m - x_{0}$ ，则实数m的取值范围为．

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10、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， O为坐标原点，过双曲线C的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M，N，则 $△ M O N$ 的面积为．

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11、已知 $x = - 1$ 是函数 $f (x) = (x^{2} + a) e^{2 x}$ 的极大值点，则（）

A、函数 $f (x)$ 的极小值为0 B、若 $- 1 < x < 0$ ，则 $f (x^{3}) > f (x)$ C、若 $0 < m < \frac{1}{e^{2}}$ ，则 $y = f (x) - m$ 有3个相异的零点 D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ （其中 $x_{2} > x_{1} > - 1$ ），则 $x_{1} + x_{2} < 0$

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12、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 4, sin B + sin C = 2 sin A$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 的周长为12 B、角 $A$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ C、 $△ A B C$ 的面积最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 的面积最大值为 $4 \sqrt{3}$

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13、已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且 $X ~ N (0, 2^{2})$ ， $Y ~ N (0, 3^{2})$ ，则（）

A、 $P (X \leq - 2) + P (X \leq 2) = 1$ B、 $P (0 < Y < 3) + P (Y \leq - 3) > \frac{1}{2}$ C、 $P (Y > 0) > P (X < 0)$ D、 $P (|X| \leq 2) > P (|Y| \leq 2)$

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14、设抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，O为坐标原点，M为线段 $F P$ 的中点，则直线 $O M$ 斜率的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{p}{2}$ D、p

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15、甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（）

A、144种 B、168种 C、192种 D、216种

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16、赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．如图的“赵爽弦图”中小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，直角三角形中较大的锐角为 $α$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{13}$ B、 $\frac{49}{169}$ C、 $\frac{60}{169}$ D、 $\frac{120}{169}$

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17、已知向量 $\vec{a} = (cos α, 1), \vec{b} = (sin α, \sqrt{3})$ ，则“ $α = \frac{π}{3}$ ”是“向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知函数 $f (x) = x^{3} - x$ ，则函数 $y = f (x + 2) + 2$ 的图象（）

A、关于点 $(- 2, 2)$ 对称 B、关于点 $(2, - 2)$ 对称 C、关于直线 $x = 2$ 对称 D、关于直线 $x = - 2$ 对称

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19、下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上单调递增的是（）

A、 $y = sin 2 x$ B、 $y = cos 2 x$ C、 $y = |cos x|$ D、 $y = |sin x|$

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20、已知i为虚数单位，复数 $z$ 满足 $(z + 2 i) \cdot i = - 1 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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生产批次	产品检测结果		合计
生产批次	次品	合格品	合计
第一批次	10	190	200
第二批次	40	260	300
合计	50	450	500

$α$	0.15	0.10	0.05	0.010
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	6.635