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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = 2 + (a - 1) i$ ， $z_{2} = 1 + i (a \in R)$ .

(1)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是实数，求 $a$ 的值；

(2)、若复数 $(z_{1} + z_{2}) \cdot \bar{z_{2}}$ 在复平面内对应的点在第四象限，求 $a$ 的取值范围.

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2、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $\frac{\sqrt{2}}{2} A B = A D = A A_{1} = 1$ ，点 $E$ 为线段 $A B_{1}$ 的中点，点 $G$ 是线段 $A C_{1}$ 上的一点，点 $F$ 是底面 $A B C D$ 内的一点，则 $G E + G F$ 的最小值为.

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3、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值为.

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 1 + \log_{2} (2 - x), x < 1 \\ 2^{x - 1}, x \geq 1 \end{cases}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ .

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b cos C + c cos B = a^{2}$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $B + C = 3 A$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $π$ B、若 $A = \frac{π}{3}$ 且 $△ A B C$ 有两解，则 $b$ 的取值范围为 $(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ C、若 $C = 2 A$ 且 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $c$ 的取值范围为 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ D、若 $A = 2 C$ 且 $sin B = 2 sin C$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的内心，则 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3} - 1}{12}$

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6、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $M$ 是 $A B$ 中点， $N$ 是 $A A_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C_{1} Q} = λ \vec{C_{1} D_{1}} (λ \in (0, 1))$ ，则下列命题正确的是（）

A、多面体 $M N Q B_{1}$ 的体积是随 $λ$ 的增大先减小后增大 B、 $λ = \frac{1}{2}$ 时，面 $A C D_{1} //$ 面 $M Q N$ C、三棱台 $A M N - D C D_{1}$ 的体积为 $\frac{5}{24}$ D、 $λ = \frac{1}{2}$ 时，平面 $M Q N$ 截该正方体所得截面的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, x - 1)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x = - 1$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = - \frac{2}{3}$ C、若 $x = 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ D、若 $x = 2$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{8}{5}, \frac{4}{5})$

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8、古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点 $A$ 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上 $B$ ， $C$ 两点与点 $A$ 在同一条直线上，且在点 $A$ 的同侧.若在 $B$ ， $C$ 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 $60^{\circ}$ 和 $30^{\circ}$ ，且 $B C = 40$ ，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为（）

A、 $1600 π$ B、 $\frac{1600 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{3200 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{32000}{3} π$

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9、一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2$ B、 $2 \sqrt{3} + 2$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b sin A - \sqrt{3} a cos B = 0$ ， $a = 2$ ， $b = \sqrt{7}$ ，则 $c =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、已知 $sin (\frac{7}{2} π + α) = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12、已知 $a = 3^{\frac{1}{2}}$ ， $b = {log}_{3} \frac{1}{2}$ ， $c = cos \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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13、若复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 - 2 i} = i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、1

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14、设集合 $A = \{x | 0 \leq x \leq 4\}$ ， $B = \{x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 4]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[0, 3]$ D、 $[3, 4]$

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 相交所得线段长为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设圆 $M$ 过 $A (2, 0)$ ，且圆心 $M$ 在抛物线 $C$ 上， $B D$ 是圆 $M$ 在 $y$ 轴上截得的弦.当 $M$ 在抛物线 $C$ 上运动时，弦 $B D$ 的长是否有定值？说明理由；

(3)、过 $F (1, 0)$ 作互相垂直的两条直线交抛物线 $C$ 于 $G$ 、 $H$ 、 $R$ 、 $S$ ，求四边形 $G R H S$ 的面积最小值.

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16、公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}^{2} sin (\frac{π a_{n}}{2})\}$ 的前 $n$ 项和．

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17、已知在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} C - {sin}^{2} B = \sqrt{2} sin A sin C ．$

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c = 3 \sqrt{6}, b = 6$ ，点 $D$ 在 $B C$ 延长线上，且 $C D = 10$ ，求 $cos ∠ C A D$ ．

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18、已知点 $P (m, - 2)$ 在函数 $y = {log}_{\frac{1}{3}} x$ 的图象上，点 $A$ 的坐标是 $(4, 3)$ ，那么 $|\vec{A P}|$ 的值是．

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19、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ， $P$ 是棱 $A B$ 上一动点，则下列结论正确的有（）

A、 $D_{1} P$ 与 $A A_{1}$ 所成角的余弦的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $C_{1} P ⊥ B_{1} C$ C、若 $E$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则三棱锥 $E - P C D$ 外接球的表面积的最小值为 $\frac{25 π}{4}$ D、若 $E$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 上动点，则三棱锥 $E - P C D$ 的体积为定值

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20、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $ω = 3$ 时， $f (x)$ 在 $(\frac{4 π}{9}, \frac{7 π}{9})$ 上单调递增 B、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$ ，且 ${|x_{1} - x_{2}|}_{min} = \frac{π}{2}$ ，则函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、若 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，得到的图象关于 $y$ 轴对称，则 $ω$ 的最小值为3 D、若 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上恰有4个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{23}{12}, \frac{29}{12})$

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