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相关试卷

1、已知集合 $M = {x ∣ - 2 < x < 2}$ ， $N = {x ∣ |x - 1| < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 3}$ B、 ${x ∣ - 2 < x \leq 1}$ C、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ D、 ${x ∣ - 2 < x < 2}$

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2、近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40％的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下：
x
1
2
3
4
5
y
75
84
93
98
100

(1)、由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系？若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数 $|r| > 0.75$ ，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）；

(2)、该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 $\frac{1}{4}$ ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考数据： $\sqrt{4340} \approx 65.88$ ． $\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 434$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 64$
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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3、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x} - x$ .

(1)、设 $a = 1, b = - 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为2的切线方程；

(2)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点，求b的取值范围.

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4、为考察某种药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
100
80
$s$
服用
150
70
220
合计
250
$t$
400

(1)、求s，t；

(2)、记未服用药物 $A$ 的动物患疾病 $B$ 的概率为 $P$ ，给出 $P$ 的估计值；

(3)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效?
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (χ^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

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5、已知点 $P$ 是直线 $y = 2 x - 4$ 上的动点，点 $Q$ 是曲线 $y = x + e^{x}$ 上的动点，则 $|P Q|$ 的最小值为

A、 $5$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $e + 3$ D、 $\frac{\sqrt{5} (e + 3)}{5}$

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6、已知 $z = 2 - 4 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、6

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，图形 $W$ 上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为 $d$ .对于点 $P$ 和图形 $W$ 给出如下定义：点 $Q$ 是图形 $W$ 上任意一点，若 $P$ ， $Q$ 两点间的距离有最小值，且最小值恰好为 $d$ ，则称点 $P$ 为图形 $W$ 的“关联点”.

(1)、如图1，图形 $W$ 是矩形 $A O B C$ ，其中点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ ，则 $d =$ .在点 $P_{1} (- 1 ， 0)$ ， $P_{2} (2 ， 8)$ ， $P_{3} (3 ， 1)$ ， $P_{4} (- \sqrt{21} ， - 2)$ 中，矩形 $A O B C$ 的“关联点”是；(直接在答题卷上写出答案即可，不需要书写过程)

(2)、如图2，图形 $W$ 是中心在原点的正方形 $D E F G$ ，其中点 $D$ 的坐标为 $(1 ， 1)$ . 若直线 $y = x + b$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为正方形 $D E F G$ 的“关联点”，求 $b$ 的取值范围；

(3)、已知点 $M (1 ， 0)$ ， $N (0 ， \sqrt{3})$ . 图形 $W$ 是以 $T (t ， 0)$ 为圆心， $1$ 为半径的⊙ $T$ . 若线段 $M N$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为⊙ $T$ 的“关联点”，求出 $t$ 的取值范围.

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8、如图1， $△ A B C$ 是等边三角形， $△ D A C$ 为等腰直角三角形， $D A = D C = \sqrt{2}$ ，将 $△ D A C$ 沿AC翻折到 $△ P A C$ 的位置，且点 $P$ 不在平面 $A B C$ 内（如图2），点 $F$ 为线段PB的中点．

(1)、证明： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、当平面 $P A C ⊥$ 平面 $A C B$ 时，求直线PB与平面 $A C F$ 所成角大小；

(3)、若直线PC与AB所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时，设平面 $A C F$ 与平面 $P B C$ 的夹角为 $α$ ，求 $\cos α$ 的值．

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9、在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 4, 2)$ ；

(1)、若 $A C$ 边上的高 $B E$ 所在的直线方程为 $x - 3 y + 10 = 0$ ，求边 $A C$ 所在的直线方程；

(2)、若 $A B$ 边上的中线 $C F$ 所在直线方程为 $x + 2 y - 5 = 0, ∠ B$ 的平分线 $B D$ 所在的直线方程为 $y = 2 x$ ，求边 $B C$ 所在的直线方程；

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10、点 $M$ 是直线 $2 x - y + 5 = 0$ 上的动点， $O$ 是坐标原点，则以 $O M$ 为直径的圆经过定点

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11、现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 $\frac{3}{4}$ ，命中得1分，没有命中得 $- 1$ 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击，则该射手得3分的概率为．

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12、已知直线 $l_{1} : a x + (2 a - 1) y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x - a y + 3 = 0$ 互相垂直，则实数 $a$ 的值为．

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13、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $A_{1} A = 4$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，且 $D B = D C$ ，则（）

A、直线 $B A_{1} / /$ 平面 $A C_{1} D$ B、点 $B$ 到平面 $A C_{1} D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、异面直线 $A B$ 与 $C_{1} D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{17}}{34}$ D、设 $M$ ， $N$ 分别在线段 $A_{1} B_{1}$ 和 $C_{1} D$ 上，且 $A_{1} M : A_{1} B_{1} = D N : D C_{1}$ ，则 $M N$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{437}}{23}$

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14、直线 $l : x sin θ - y + 3 = 0 (θ \in R)$ 的倾斜角可以为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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15、已知直线 $l_{1} : m x - y = 0 (m \in R)$ 过定点 $A$ ，直线 $l_{2} : x + m y + 4 - 2 m = 0$ 过定点 $B, l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $C$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为( )

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、5 D、10

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16、直线 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交于M、N两点，则 $|\vec{M N}| =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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17、已知 $i$ 为虚数单位，定义 $x^{n} = 1$ 的解称为 $n$ 次单位根或单位根，这 $n$ 个单位根分别为 $ω_{i} = \cos \frac{2 k π}{n} + i \cdot \sin \frac{2 k π}{n}, (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)$ ．复数单位根在代数、分析、信号处理和几何学等领域都有广泛的应用．例如在平面几何中，记 $\vec{O Z_{1}}$ 对应的复数为 $z_{1} = r (\cos α + i \sin α)$ ，将 $\vec{O Z_{1}}$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{2 k π}{n}$ 得到 $\vec{O Z_{2}}$ ，则 $\vec{O Z_{2}}$ 对应的复数为 $z_{2} = z_{1} ω_{i} = r [\cos (α + \frac{2 k π}{n}) + i \sin (α + \frac{2 k π}{n})]$ ．此外，在数字信号处理中，单位根用于设计滤波器，以选择或抑制特定频率的示性信号．

(1)、方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 在复数域上的两根为 $z_{1}, z_{2}$ ，将 $z_{1}, z_{2}$ 对应的向量 $\vec{O Z_{1}}, \vec{O Z_{2}}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 后得到 $\vec{O Z_{3}}, \vec{O Z_{4}}$ ，记 $\vec{O Z_{3}}, \vec{O Z_{4}}$ 对应的复数为 $z_{3}, z_{4}$ ，请求出 $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ （结果用代数形式表示）；

(2)、已知定义在整数集上的示性函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1, x = 3 k (k \in Z) \\ ω, x = 3 k + 1 (k \in Z) \\ ω^{2}, x = 3 k + 2 (k \in Z) \end{array} (ω = \cos \frac{2 π}{3} + i \cdot \sin \frac{2 π}{3})$ ，在复平面上的正三角形 $△ A B C$ 顶点 $A, B, C$ 三点分别对应的复数为 $α, β, γ$ ，若存在 $x_{1}, x_{2}, x_{3} \in \{0, 1, \dots, 9\}$ 使得 $f (x_{1}) α + f (x_{2}) β + f (x_{3}) γ = 0$ ，则称 $n = 100 x_{1} + 10 x_{2} + x_{3}$ 为正三角形数．若 $n$ 为正三角形数，求 $f (n)$ ；

(3)、一个圆环上系有 $n (n \geq 6)$ 个绳结，且圆环上每个绳结的位置都不相同，现有两种打结方式分别可以得到 $A, B$ 型绳结，每个绳结等可能地采用两种打结方式．记顺序相邻的5个绳结中恰有1，2，3，4个 $A$ 型绳结的组数分别为 $a, b, c, d$ ，证明： $3 a + b - c - 3 d$ 是5的倍数．

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18、如图，已知四边形 $A B C D$ 满足 $A D = 2, B C = C D = 2 \sqrt{3}, A D ⊥ C D, A C ⊥ B C$ ，现将 $△ D A C$ 沿着 $A C$ 翻折得到 $△ P A C$ 形成四棱锥 $P - A B C D$ ，记二面角 $P - A C - D$ 的平面角大小为 $θ$ ．

(1)、若 $θ = \frac{π}{2}$ ，证明： $A P ⊥ P B$ ．

(2)、在线段 $A P$ 上是否存在一点 $E$ 使得 $D E //$ 平面 $P B C$ ，若存在，求出 $\frac{A E}{A P}$ ；若不存在，请说明理由．

(3)、三棱锥 $P - A B C$ 的外接球球心为 $O$ ，二面角 $O - A P - C$ 和 $O - B C - A$ 的平面角大小分别为 $α, β$ ，求 $\tan^{2} α - \tan^{2} β$ （记 $λ = \sin θ$ ，结果用 $λ$ 表示）．

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19、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为平行四边形，其中 $A B = 2, A D = P D = \sqrt{3}, ∠ B A D = \frac{π}{6},$ $B D ⊥ A P, A B ⊥ P D$ ，

(1)、证明： $P B ⊥ B C$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 的所成角的正弦值．

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20、宁波市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准 $x$ （千瓦时）：月用电量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照 $[0, 100), [100, 200), \dots,$ $[600, 700)$ 分成7组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)、求直方图中a的值以及所有样本的平均用电量；

(2)、宁波市有900万居民，估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数，并说明理由：

(3)、宁波市政府希望使 $85 %$ 的居民每月的用电量不超过标准 $x$ （千瓦时），估计 $x$ 的值（保留整数），并说明理由．

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药物	疾病		合计
药物	未患病	患病	合计
未服用	100	80	$s$
服用	150	70	220
合计	250	$t$	400

$P (χ^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828