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相关试卷

1、在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / D C$ ， $A = 90^{\circ}$ ， $A B = A D = 2 C D = 2$ ， E是线段 $A D$ 中点， $F$ 是线段 $B E$ 上的动点，则 $\vec{F B} \cdot \vec{F C}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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2、已知 $a = {log}_{2} 3$ ， $b = {log}_{4} 3$ ， $c = \frac{3}{2}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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3、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A = \{1, 3, 4\}$ ， $∁_{U} B = \{3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3, 4\}$ D、 $\emptyset$

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4、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足条件：
① $\forall x_{1}, x_{2} > 0$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，恒有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) > 0$ ；
② $f (x) - f (- x) = 0$ ；
③ $f (- 3) = 0$ ，
则不等式 $x f (x) < 0$ 的解集是.

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5、下列各组函数表示的是不同函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{- 2 x^{3}}$ 与 $g (x) = x \cdot \sqrt{- 2 x}$ B、 $f (x) = |x|$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = x + 1$ 与 $g (x) = x + x^{0}$ D、 $f (x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x + 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} + x}$

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6、函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 3 x + 2)$ 的单调递增区间为.

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7、函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + x - 2, x \leq 0 \\ - 1 + \ln x, x > 0 \end{cases}$ ，则函数 $y = f (f (x))$ 的零点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8、为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响.

(1)、求甲两轮测试总分为30分的概率；

(2)、求乙在第一轮测试中得40分的概率；

(3)、试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？

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9、 $△ A B C$ 中， $a^{2} \tan B = b^{2} \tan A$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、 $△ A B C$ 是直角三角形 C、 $△ A B C$ 是等腰三角形或直角三角形 D、 $△ A B C$ 是等腰直角三角形

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10、已知函数 $f (x) = 2 a \ln x + \frac{x^{2}}{2} - (a + 2) x, a \in R$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 1 - a$ 对任意两个不相等的正实数 $x_{1}, x_{2}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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11、把函数 $y = cos x$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $cos (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $cos (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $cos (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$ D、 $cos (\frac{1}{2} x - \frac{π}{12})$ .

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12、已知椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$

(1)、求C的方程；

(2)、已知点 $M_{0} (1, 4)$ ，证明：线段 $F_{1} M_{0}$ 的垂直平分线与C恰有一个公共点；

(3)、设M是坐标平面上的动点，且线段 $F_{1} M$ 的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．

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13、如图，“水滴”是由线段 $A B, A C$ 和圆的优弧 $B C$ 所围成的封闭图形，其中 $A B, A C$ 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点 $A$ 到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为.

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14、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3$ ．

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $\{x| - 1 < x < 1\}$ ，求 $a, b$ 的值；

(2)、若 $f (2) = 1$ ，且 $a > 0, b > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值．

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15、若存在实数 $x$ 使得 $k x^{2} - 2 x + 1 < 0$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(0, 1)$ D、 $[0, 1)$

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16、已知P是 $△ A B C$ 所在平面内一点，满足 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，若 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 6$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C P} =$ （）

A、 $- 12$ B、12 C、 $- 18$ D、18

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17、已知直线 $l_{1}$ ： $a x + 2 y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(3 - a) x - y + a = 0$ ，则条件“ $a = 1$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不必要也不充分条件

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18、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{π}{3}$ 的单位向量，则 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是平行四边形，且 $△ A B D$ 是等边三角形， $A B = 2$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $△ P A B$ 是等腰三角形，求异面直线 $P B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值.

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20、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、已知点 $A (0, - 2)$ ，过点 $P (0, - 3)$ 且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线l与椭圆E相交于不同两点B、C，直线AB、AC分别与直线 $y = - 3$ 交于点M、N，当 $∣ P M ∣ + ∣ P N ∣ \leq 15$ 时，求斜率k的取值范围．

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