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相关试卷

1、已知不等式 $e^{x} + a \geq a ln (a x - a)$ 对任意的 $x \in (1, + \infty)$ 恒成立，则正实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, e^{2}]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[e^{2}, + \infty)$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{a_{1}}{2^{n - 2}} (n \in N^{*})$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} < 2025$ 恒成立，则 $a_{1}$ 的最大值为（）

A、403 B、404 C、405 D、406

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3、连续掷一颗质地均匀的骰子三次，在三次骰子点数之和为偶数的条件下，恰有一次骰子点数为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4、已知函数 $y = f (x)$ 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则该函数的图象是（       ）


A、    B、    C、    D、

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5、在二项式 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，二项式系数最大的项是（）

A、 $60 x^{4}$ B、160 C、 $240 x^{- 2}$ D、 $192 x^{- 4}$

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6、利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用 $2 \times 2$ 列联表，计算可得 $χ^{2} = 7.233$ ，参照临界值表：下列叙述正确的是（）
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

A、在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” B、在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” C、某学生是该校女生，那么她有 $0.05 %$ 的可能爱好数学 D、某学生是该校男生，那么他有 $99.5 %$ 的可能爱好数学

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{3} = 9$ ， $S_{6} = 36$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、11

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8、已知某中学高一年级学生某次考试的数学成绩 $X$ （单位：分）近似服从正态分布 $N (90, σ^{2})$ ，且 $P (X < 110) = 0.8$ ，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间 $(70, 90)$ 内的概率近似为（）

A、0.6 B、0.5 C、0.4 D、0.3

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9、对于三维向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}, z_{k}) (x_{k}, y_{k}, z_{k} \in N, k = 0, 1, 2, \dots)$ ，定义“ $F$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F (\vec{a_{k}})$ ，其中 $x_{k + 1} = | x_{k} - y_{k} |, y_{k + 1} = | y_{k} - z_{k} |, z_{k + 1} = | z_{k} - x_{k} |$ .记 $〈 \vec{a_{k}} 〉 = x_{k} \cdot y_{k} \cdot z_{k}, | | \vec{a_{k}} | | = x_{k} + y_{k} + z_{k}$ .

(1)、若 $\vec{a_{0}} = (3, 1, 2)$ ，求 $〈 \vec{a_{2}} 〉$ 及 $| | \vec{a_{2}} | |$ ；

(2)、已知 $\vec{a_{1}} = (p, 2, q) (q \geq p), | | \vec{a_{1}} | | = 2024$ ，
（i）求 $p, q$ 的值；
（ii）将 $\vec{a_{1}}$ 再经过 $m$ 次 $F$ 变换后， $| | \vec{a_{m}} | |$ 最小，求 $m$ 的最小值.

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10、在① $(sin A - sin C) sin (A + B) = {sin}^{2} A - {sin}^{2} B$ ， ② $\sqrt{3} sin B cos B - \frac{1}{2} cos 2 B = 1$ ， ③ $b cos C = a - \frac{\sqrt{3}}{3} c sin B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
已知 $a, b, c$ 是 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边，且__________.

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ，求锐角 $△ A B C$ 的周长的取值范围.

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11、已知复数 $z = 1 + m i$ （ $i$ 是虚数单位， $m \in R$ ），且 $\bar{z} \cdot (3 + i)$ 为纯虚数.

(1)、设复数 $z_{1} = \frac{m + 2 i}{1 - i}$ ，求 $|z_{1}|$ ；

(2)、设复数 $z_{2} = \frac{a - i^{2025}}{z}$ ，且复数 $z_{2}$ 所对应的点在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c$ ，若 $2 {sin}^{2} C = {sin}^{2} A + {sin}^{2} B$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围为.

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13、如图，设 $O x, O y$ 是平面内相交成 $60^{\circ}$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量.若向量 $\vec{p} = \vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{p}$ 在斜坐标系 $O x y$ 中的坐标.设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标分别为 $(2, 1), (- 3, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14、在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫 $Trulli$ ，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个 $Trulli$ 的屋顶，得到圆锥 $S O$ （其中 $S$ 为顶点， $O$ 为底面圆心），母线 $S A$ 的长为 $6m$ ， $C$ 是母线 $S A$ 的靠近点 $S$ 的三等分点．从点 $A$ 到点 $C$ 绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为 $2 \sqrt{13} m$ ．下面说法正确的是（）

A、圆锥 $S O$ 的侧面积为 ${12πm}^{2}$ B、过点 $S$ 的平面截此圆锥所得截面面积最大值为 $8 \sqrt{2} m^{2}$ C、圆锥 $S O$ 的外接球的表面积为 $72 {πm}^{2}$ D、棱长为 $\sqrt{3} m$ 的正四面体在圆锥 $S O$ 内可以任意转动

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2, a = 2$ ，则 $b^{2} + c^{2} = 8$ C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A > cos B$ D、若 $b = 8, c = 10, B = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 解的个数为2

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16、已知 $\vec{a} = (3, - 1), \vec{b} = (1, 2)$ ，则下列结论中正确的是（）.

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{17}$ . B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ . C、与 $\vec{b}$ 同向共线的单位向量是 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ . D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ .

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17、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = \frac{π}{4}, A C = 2, B C = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ .在 $△ A B C$ 所在的平面内，有一个边长为1的正方形 $A D E F$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转（不少于1周），则 $\vec{A E} \cdot \vec{D B}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 5, 5]$ B、 $[- 5, 3]$ C、 $[- 3, 3]$ D、 $[- 3, 5]$

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18、下面关于空间几何体的叙述：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③正四棱柱都是长方体；④直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤平行六面体是六棱柱.其中叙述正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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19、在 $△ A B C$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = 4 \vec{E D}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{11}{15} \vec{a} - \frac{8}{15} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{8}{15} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{8}{15} \vec{b}$ D、 $- \frac{11}{15} \vec{a} + \frac{8}{15} \vec{b}$

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20、在 $△ A B C$ 中，已知 $B = 120^{\circ}, A C = \sqrt{19}, A B = 2$ ，则 $B C =$ （）

A、5 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、1

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$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828