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相关试卷

1、已知a， $b \in R$ 且 $b \neq 0$ ， $\frac{a}{b} \neq - 1$ ， $\sin α = \frac{\frac{a}{b} - 1}{\frac{a}{b} + 1}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\frac{1 - \cos α}{1 + \cos α}$ B、 $tan (\frac{π}{4} + α)$ C、 $\frac{1 - \sin α}{1 + \sin α}$ D、 ${tan}^{2} (\frac{π}{4} + \frac{α}{2})$

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2、在锐角 $△ A B C$ 中，记角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2$ ，且 $\sin A - \sin (B - C) = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3、半径为4的实心球 $O_{1}$ 与半径为2的实心球 $O_{2}$ 体积之差的绝对值为（）

A、 $\frac{224}{3} π$ B、 $76 π$ C、 $75 π$ D、 $\frac{215}{3} π$

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4、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{3 m} = 1 (m > 0)$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5、已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq 3\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x}, x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- \sqrt{3}, 2]$ B、 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$ C、 $(0, 2]$ D、 $(0, \sqrt{3}]$

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A D C = 45^{\circ}, A D = A C = 1$ ， $O$ 为 $A C$ 中点，PO⊥平面 $A B C D$ ， $P O = 2$ ， $M$ 为 $P D$ 中点.

(1)、证明： $P B$ $/ /$ 平面 $A C M$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (x, 1), \vec{u} = \vec{a} + 2 \vec{b}, \overset{⇀}{v} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ，

(1)、若 $\vec{u} // \vec{v}$ ，求实数x的值．

(2)、若 $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ ，求实数x的值．

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8、三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $∠ A B C = 90 °$ ， $P A = A B = B C = 6$ ，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为.

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9、如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在 $A$ 处观测灯塔 $C$ 在北偏东 $45 °$ 方向，行驶2h后，船到达 $B$ 处，观测个灯塔 $C$ 在北偏东 $15 °$ 方向，此时船与灯塔 $C$ 的距离为km.

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10、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则直线 $B D_{1}$ 与 $C E$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1), \vec{b} = (- 1, 3)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- \frac{1}{10}, \frac{3}{10})$ D、 $(- \frac{2}{5}, \frac{1}{5})$

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12、已知圆台 $O_{1} O$ 的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则该圆台的侧面积为（）

A、 $16 π$ B、 $20 π$ C、 $24 π$ D、 $32 π$

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13、已知i为虚数单位，则 $(2 + 3 i) (4 - i) =$ （）

A、 $10 i$ B、 $11 + 10 i$ C、 $11 i$ D、 $10 + 11 i$

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14、每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（）

A、两条直线确定一个平面 B、三点确定一个平面 C、不共线三点确定一个平面 D、两条平行直线确定一个平面

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15、已知集合 $A = \{- 1, 0, 2\}$ ， $B = \{x ∣ x (x - 1) = 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 2\}$

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16、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是双曲线C右支上一点，且直线 $P F_{2}$ 的斜率为 $\sqrt{2}, △ P F_{1} F_{2}$ 是面积为 $2 \sqrt{2}$ 的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为．

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17、为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对 $A$ 、 $B$ 两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为 $a_{1}$ 、 $x_{1}$ 、 $b_{1}$ 、 $s_{1}$ ，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为 $a_{2}$ 、 $x_{2}$ 、 $b_{2}$ 、 $s_{2}$ .则下列判断正确的有（）.

A、 $a_{1} < a_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ . B、 $b_{1} < b_{2}$ 且 $s_{1} > s_{2}$ . C、 $a_{1} > x_{1}$ 且 $a_{2} = x_{2}$ . D、 $b_{1} < a_{1} < x_{1}$ .

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18、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，记 $f (x)$ 的图象在点 $(a, f (a))$ 处的切线方程为 $y = g_{a} (x)$ ．定义集合 $P_{f} = \{a \in D |\forall x \neq a, \frac{f (x) - g_{a} (x)}{x - a} > 0\}$ ；集合 $Q_{f} = \{a \in D |\forall x \neq a, \frac{f (x) - g_{a} (x)}{x - a} < 0\}$ ．

(1)、若 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，求 $g_{\frac{π}{6}} (x)$ ；

(2)、若 $f (x) = e^{x}$ ， $e$ 为自然对数底数（下同），求证： $P_{f} = \emptyset$ ；

(3)、若 $f (x) = (x^{2} + 2 x) e^{x}$ ，求 $P_{f} \cup Q_{f}$ ，并说明理由．

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19、已知抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1, 0)$ ，直线l与抛物线 $Γ$ 交于A，B两点，且 $M (\frac{5}{2}, 1)$ 为线段AB的中点．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、求直线l的方程；

(3)、过点 $Q (m, 1) (m < 0)$ 作抛物线 $Γ$ 的两条切线，分别交l于C，D两点，求 $△ Q C D$ 面积的最小值.

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} (b_{1} + 1) + a_{2} (b_{2} + 1) + \dots + a_{n} (b_{n} + 1) = (2 n - 3) \cdot 2^{n + 1} + 6$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $[\sum_{n = 1}^{50} \frac{1}{\sqrt{a_{n}}}]$ 的值.（其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[3.2] = 3$ ）

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