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相关试卷

1、已知复数 $z = m - i$ （ $m \in R$ ），且 $\bar{z} \cdot (1 + 3 i)$ 为纯虚数（ $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数）.

(1)、设复数 $z_{1} = \frac{m + 2 i}{1 - i}$ ，求 $|z_{1}|$ ；

(2)、复数 $z_{2} = \frac{a - i^{2025}}{z}$ 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知 $| \vec{A B} | = 6$ ，平面上动点 $P$ 满足 $|\vec{A P} - t \vec{A B}| \geq 4$ 对任意 $t \in R$ 恒成立，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的最小值为，此时 $| \vec{P A} + \vec{P B} | =$ .

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3、已知60个样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{59}, x_{60}$ 的平均数为3，其中 $\sum_{i = 1}^{60} x_{i}^{2} = 1260$ ，则这60个数据的方差为.

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4、在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则该棱台的体积．

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5、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上的动点，则（）

A、 $P A + P A_{1}$ 的最小值为 $12 + 4 \sqrt{6}$ B、 $A P$ 与 $B D_{1}$ 始终保持垂直 C、以 $A$ 为球心， $\sqrt{2}$ 为半径的球面与平面 $A_{1} B D$ 的交线长为 $\frac{2 \sqrt{6} π}{3}$ D、经过 $A C_{1}$ 的平面截正方体所得截面面积的最小值为 $\sqrt{30}$

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6、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ， …， $x_{n}$ 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $c_{1}$ ， $d_{1}$ ，数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， …， $y_{n}$ 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ ， $d_{2}$ ，且满足 $y_{i} = 2 x_{i} - 1 (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} = 2 a_{1} - 1$ B、 $b_{2} = b_{1}$ C、 $c_{2} = 4 c_{1}$ D、 $d_{2} = 2 d_{1} - 1$

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7、正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ ，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（）

A、事件 $B$ 与 $C$ 互斥 B、 $P (A + B) = \frac{3}{4}$ C、事件 $A$ 与 $C$ 相互独立 D、 $P (\bar{A B}) = \frac{3}{4}$

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8、 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，满足 $2 b \cos \frac{A}{2} = a \cos (\frac{A}{2} - B)$ ，若 $λ \cos A - \cos (C - B)$ 存在最小值，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(- 4, 4)$ D、 $(- 4, 2)$

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9、如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 的中点，则过点B作与异面直线 $B_{1} C$ 与 $E F$ 所成的角都是 $60 °$ 的直线条数（）

A、有无数条 B、有两条 C、有三条 D、有一条

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10、将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于8的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{5}{18}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{12}$

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11、为了解某年级同学的体能情况，抽取100位同学进行一分钟仰卧起坐次数测试，将所得数据整理后，得到如下频率分布直方图（一分钟仰卧起坐次数60次以上的称为体能优秀），则下列结论错误的是（）

A、 $b = 0.005$ B、估计100位同学在一分钟仰卧起坐次数的平均数低于70次 C、从这100位同学中随机选取一位同学，则这位同学体能优秀的概率约为 $\frac{3}{5}$ D、按照“体能优秀”的学生与“体能不优秀”的学生进行分层抽样，从这100位同学中抽取12人，则在体能优秀的同学中应抽取9人

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12、复数 $z$ 在复平面内对应的点满足 $| z - 2 | = 1$ ，则以下选项中的点在复数 $z$ 所构成图形上的是（）

A、 $(0, 0)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(2, 0)$ D、 $(0, 1)$

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13、公园内有一棵树， $A$ ， $B$ 是与树根处 $O$ 点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为 $P$ .如图，观测得 $∠ O A B = 75 °$ ， $∠ O B A = 60 °$ ， $∠ O A P = 60 °$ ， $A B = 10$ 米，则该树的高度 $O P$ 为（）米.

A、 $15$ B、 $15 \sqrt{3}$ C、 $15 \sqrt{2}$ D、 $15 \sqrt{6}$

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14、 $\sin 16^{\circ} \cos 46^{\circ} - \cos 16^{\circ} \sin 46^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、一艘海轮从 $A$ 处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东 $40^{\circ}$ 的方向直线航行，2小时后到达 $B$ 处，在 $C$ 处有一座灯塔，海轮在 $A$ 处观察灯塔，其方向是南偏东 $70^{\circ}$ ，在 $B$ 处观察灯塔．其方向是北偏东 $65^{\circ}$ ，那么 $B, C$ 两点间的距离是（）

A、 $50 \sqrt{2}$ 海里 B、 $50 \sqrt{3}$ 海里 C、 $100 \sqrt{3}$ 海里 D、 $100 \sqrt{2}$ 海里

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16、已知函数 $f (x), g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的偶函数和奇函数，且 $f (x) + g (x) = 2 \cdot 3^{x}$ .

(1)、证明： $f (x) - g (x) = 2 \cdot 3^{- x}$ ，并求函数 $f (x), g (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $g (x)$ 的单调性（不需要用定义法证明），并解关于 $x$ 不等式： $g (x^{2} + 2 x) + g (x - 4) > 0$ ；

(3)、设 $p (x) = \frac{3^{x} - 2}{3^{x} + 2}, h (x) = f (2 x) - 2 g (x) + m - 2$ ，对于 $\forall x_{1} \in R, \exists x_{2} \in [0, + \infty)$ ，使得 $p (x_{1}) \geq h (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为 $x \in [6, 10]$ （单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为 $P (x)$ ；
方案二：其给出的整体报价为 $f (x) = 1200 m (\frac{3}{x} + 1)$ 元， $(m > 0)$

(1)、当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求 $m$ 的值；

(2)、求 $P (x)$ 的函数解析式，并求报价的最小值；

(3)、若对任意的 $x \in [6, 10]$ 时，方案二都比方案一省钱，求 $m$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{12}) - 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期，对称中心及单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $h (x)$ ，再将所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变）得到函数 $g (x)$ 的图象，写出函数 $h (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；且当 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ ，求 $g (x)$ 的最值.

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19、已知 $α$ 为锐角， $β$ 为钝角，且 $\cos α = \frac{3 \sqrt{10}}{10}, \sin β = \frac{\sqrt{2}}{10}$ .

(1)、求 $\cos (α + β)$ 的值；

(2)、求 $β - 2 α$ 的值.

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20、已知 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{5 \cos α - \sin α} = \frac{4}{3}$ ，计算

(1)、 $\tan α$ ；

(2)、 $2 \sin α \cos α + \cos^{2} α$ ；

(3)、 $\frac{\sin 2 α + 1}{\cos 2 α}$

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