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相关试卷

1、如图，已知 $A B$ 是圆的直径， $P A$ 垂直于圆所在的平面， $C$ 为圆上任意一点．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P A = 1, A B = \sqrt{2}$ ，二面角 $A - P B - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，则是否存在点 $M, N$ 满足 $\vec{A M} = p \vec{A B}$ ， $\vec{C N} = q \vec{C P}$ ，使得 $M N ⊥ A B$ 且 $M N ⊥ C P$ ？若存在，求出 $p, q$ 的值；若不存在，请说明理由．

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2、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，已知 $A$ 是锐角，且 $tan 2 A = - \sqrt{3}$ ．

(1)、若 $m b c = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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3、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为 0 ， $S_{3} = 15$ ， $a_{1}, a_{4}, a_{13}$ 成等比数列.
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} + 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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4、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右两个焦点，若双曲线上存在一点 $P$ 满足 $|\vec{P F_{1}}| = 3 |\vec{P F_{2}}|, |\vec{O P}| = \sqrt{2} a$ ，则该双曲线的离心率为．

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5、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，且 $|\vec{a} - 2 \vec{b} |=| \vec{a}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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6、用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成个四位数．

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7、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a \neq b$ ，若 $|ln a| = |ln b|$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a + b > 2$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{8}{a + b} \geq 4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{16}{b} \geq 12$ D、 $\frac{8 a^{2} + b^{2}}{a^{2} + a b} \geq 5$

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8、已知事件 $A, B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ C、若 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{3}$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、若 $P (A |B) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (B |A) = \frac{3}{8}$

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9、已知函数 $f (x) = ln \frac{1 - x}{1 + x} - sin a x (a \in R)$ ，若 $f (x) > 0$ 当且仅当 $- 1 < x < 0$ ，则 $a$ 的最小值为（）

A、2 B、0 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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10、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2 A D$ ，点 $E, F$ 分别是棱 $C D$ 和 $B B_{1}$ 的中点，点 $P$ 在侧面 $A D D_{1} A_{1}$ （包括边界）移动．若 $F E ⊥ E P$ ，则异面直线 $E P$ 与 $A B$ 所成角的余弦值的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、已知函数 $f (x) = a e^{x} + b (e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数， $a, b \in R$ ），若直线 $y = x + b$ 是 $f (x)$ 图象的切线，则 $a$ 的值为（）

A、 $e$ B、1 C、 $\frac{2}{e}$ D、 $\frac{1}{e}$

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12、有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．现从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这2个球都是黄球的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{9}{20}$ D、 $\frac{7}{10}$

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13、过抛物线 $x^{2} = \frac{1}{4} y$ 的焦点，且与直线 $2 x + y + 3 = 0$ 垂直的直线方程为（）

A、 $x - 2 y + 2 = 0$ B、 $8 x - 16 y + 1 = 0$ C、 $x - 2 y - 1 = 0$ D、 $16 x - 32 y - 1 = 0$

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14、若 $n$ 为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式的常数项是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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15、复数 $z_{1} = 3 + i, \bar{z_{2}} = 1 + i$ ，则复数 $z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ 在复平面内的对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知集合 $A = \{x ||x| < 3\}, B = \{x \in N |x^{2} < 16\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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17、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{x} + a)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (2^{x}) > 1$ 的解集；

(2)、若 $a = 1$ ，当 $x \in [2, 3]$ 时， $F (x) = f (2^{x}) + \log_{2} (2^{x} + 1)$ ，求函数 $y = F (x)$ 的最小值；

(3)、当 $a \neq 3$ 且 $a \neq 4$ 时，关于x的方程 $f (x) - \log_{2} [(a - 4) x + 2 a - 5] = 0$ 的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围.

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18、给定正整数 $n \geq 3$ ，考虑集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 的所有排列 $π = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，对每个 $1 \leq i \leq n - 1$ ，定义： $d_{i} = min \{|a_{i} - a_{j}|, j > i\}$ ，并规定 $d_{n} = 0$ .记 $S_{m}$ 为所有排列中 $\sum_{i = 1}^{m} d_{i}$ 的最大值.

(1)、对于排列 $π = (1, 3, 2, 4)$ ，计算 $\sum_{i = 1}^{4} d_{i}$ ，再直接写出 $S_{3}$ 和 $S_{4}$ 的值，并分别给出一个满足 $\sum_{i = 1}^{3} d_{i} = S_{3}$ 的排列和一个满足 $\sum_{i = 1}^{4} d_{i} = S_{4}$ 的排列；

(2)、对任意整数 $k \geq 3$ ，证明： $S_{2 k} \geq k - 1 + S_{k} + S_{k + 1}$ ；

(3)、证明： $S_{2049} \geq 13312$ .

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19、已知函数 $f (x) = x - a ln (1 + x)$ ， $a \in R .$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上存在零点 $x_{0},$
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) > f^{'} (x_{0})$ .

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20、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 是正三角形， $A C = P C$ ， $∠ A C P = 120 °$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D P}$ ，点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心.

(1)、证明： $G D //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若平面 $B G D ⊥$ 平面 $P A C$ ，求二面角 $P - A B - C$ 的平面角的正切值.

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