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相关试卷

1、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点坐标是 $(1 ， 0)$ ，短轴长是长轴长的 $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $(0, - 1)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $C, D$ 两点，与 $x$ 轴交于 $P$ 点，点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $T$ ，直线 $D T$ 交 $x$ 轴于 $Q$ 点，求证： $|O P| \cdot |O Q|$ 为定值；

(3)、设椭圆 $E$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，直线 $m$ 交椭圆 $E$ 于 $M, N$ 两点（ $M, N$ 与 $A, B$ 均不重合），记直线 $A M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} - 2 k_{2} = 0$ ，设 $△ A M N$ ， $△ B M N$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，求 $|S_{1} - S_{2}|$ 的最大值.

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，满足 $S_{n + 1} = 3 S_{n} + n + 1 (n \in N^{*}) .$

(1)、证明数列 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} (2 a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{\frac{(2 a_{n} + 1) (2 n - 1)}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $T_{n} .$

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3、社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：
年长者
年轻人
总计
喜欢阅读电子书
24
30
喜欢阅读纸质书
12
总计
60

(1)、请将上面的列联表补充完整，并判断是否有 $90 %$ 的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；

(2)、若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d .$
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
$0.10$
$0.05$
$0.010$
$0.005$
$χ_{0}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$

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4、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = 4$ ， $\frac{1}{tan B} + \frac{1}{tan C} = 1$ 且 $cos B cos C = \frac{1}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为.

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5、若直线 $y = x + 2 a$ 与曲线 $y = \ln (x + b)$ 相切，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为.

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6、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1$ ， $a_{5} = a_{4} + 2 a_{3}$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9} =$ .

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7、已知F是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线l为抛物线C的准线，过点F作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与C相交于 $A$ ， $B$ 两点， $l_{2}$ 与C相交于 $D$ ， $E$ 两点，则（）

A、 $|A B|$ 的最小值为2 B、以线段AB为直径的圆与直线l相切 C、 $|A B| + |D E|$ 的最小值为16 D、 $△ A E F$ 和 $△ B D F$ 面积之和的最小值为8

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8、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} cos (\frac{π}{2} + x) + sin (\frac{π}{2} - x) + 1$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 1)$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{4 π}{3}, 0]$ 上单调递增 D、当 $x \in (- \frac{2 π}{3}, \frac{π}{3})$ 时， $f (x) \in (0, 3]$

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9、为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后 $($ 每组为左闭右开的区间 $)$ ，绘制出如图所示的频率分布直方图，则（）

A、样本观测数据的极差不大于50 B、样本观测数据落在区间 $[55, 65)$ 上的频率为 $0.04$ C、样本观测数据的75百分位数为70 D、若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计 $80 %$ 的工人能完成任务

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10、如果数列 $\{a_{n}\}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} - a_{n + 1} > a_{n + 1} - a_{n}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“速增数列”.若数列 $\{a_{n}\}$ 为“速增数列”，且任意项 $a_{n} \in Z$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 4$ ， $a_{k} = 2025$ ，则正整数k的最大值为（）

A、63 B、64 C、65 D、66

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11、设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， P为双曲线一条渐近线上一点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{2} ∠ A_{1} P A_{2} = \frac{π}{2}$ ，则双曲线C的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{22}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{23}}{3}$

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12、有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从5人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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13、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 4$ ，且 $(\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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14、已知 $a, b, c \in R$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $|a| > |b|$ B、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{a + c} > \frac{b}{b + c}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b$ ，则 $c^{2} (a - b) > 0$

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15、直线 $\sqrt{3} x - y + m = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 = 0$ 相切，则实数 $m$ 等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- 3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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16、对于任意实数x，y，z， $\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2}}$ 的最小值为.

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17、已知二次函数 $y = x^{2} + a x + a (a \in R)$ .

(1)、若 $y > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $0 \leq x \leq 1$ 时，函数y的最小值为 $\frac{9 a - 1}{8}$ ，求实数a的值；

(3)、若 $a \in R$ ， $\exists x \in \{x |1 \leq x \leq 2\}$ ，使得关于x的方程 $x^{2} + a x + a = 0$ 有解，求实数a的取值范围.

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18、已知直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D = C D$ ， $A B + B C = 12 (B C > A B)$ ，过点 $A$ 作 $C D$ 延长线的垂线，垂足为E，连接 $A E$ .

(1)、设 $B C = x$ ， $A D = a$ ，请写出x与a的关系式（用x表示a）；

(2)、在（1）的条件下，记 $△ A E D$ 的面积为S，求S的最大值及此时x的值.

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19、若 $a, b > 0$ 且 $a b = a + b + 3$ .

(1)、求 $a b$ 的最小值；

(2)、求 $a + b$ 的取值范围.

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20、已知集合 $A = \{x |m x - 1 = 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 3 x + 2 = 0\}$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $A \cup B$ 和 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的值.

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	年长者	年轻人	总计
喜欢阅读电子书		24	30
喜欢阅读纸质书	12
总计			60

$P (χ^{2} \geq k_{0})$	$0.10$	$0.05$	$0.010$	$0.005$
$χ_{0}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$