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相关试卷

1、已知实数 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ，将这7个数适当排列成一列数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{7}$ ，满足 $a_{1} < a_{2} < a_{3} > a_{4} > a_{5} < a_{6} < a_{7}$ ，则满足要求的排列的个数为（）

A、58 B、71 C、85 D、96

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2、已知公比为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 1$ ， $S_{4} = 5$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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3、已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m / / n$ ， $m / / α$ ，则 $n / / α$ B、若 $m / / n$ ， $α / / β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ D、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$

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4、已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = - 2$ ，若 $a_{3}, a_{4}, a_{6}$ 成等比数列，则 $a_{10} =$ （）

A、 $- 20$ B、 $- 18$ C、16 D、18

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5、若给定数列 $\{a_{n}\}$ ，对于任意的 $n \in N^{*}$ ，若满足 $a_{n + 1} - a_{n} = q^{n}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“ $D (h)$ 型数列”．若数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n + 1} - 3 a_{n} + 2 a_{n - 1} = 0$ ．

(1)、判断数列 $\{a_{n +1} - a_{n}\}$ 是否为“ $D (h)$ 型数列”，并证明；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ ， $\exists n \in N^{*}$ ，使不等式 $n (1 + b_{n}) - λ b_{n} (n + 2) - 3 < 0$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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6、近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组： $[5, 6), [6, 7), [7, 8), [8, 9]$ 并整理得到如图的频率分布直方图：

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有 $X$ 辆汽车行驶里程不小于8万公里，求 $X$ 的分布列．

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7、若直线 $y = 3 x + 2 a$ 与曲线 $y = ln x + 2 x$ 相切，则实数 $a$ 的值为.

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8、如果一个函数 $f (x)$ 在其定义区间内对任意 $x$ ， $y$ 都满足 $f (\frac{x + y}{2}) \leq \frac{f (x) + f (y)}{2}$ ，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（）

A、 $f (x) = 2^{x}$ B、 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = \log_{2} x (x > 0)$ D、 $f (x) = \{\begin{matrix} x, x < 0 \\ 2 x, x \geq 0 \end{matrix}$

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9、已知 $A, B, C, D$ 为球 $O$ 的球面上的四个点，圆 $O_{1}$ 为 $△ A B C$ 的外接圆．若圆 $O_{1}$ 的面积为 $4 π$ ， $D A = D B = D C = A B = B C = A C$ ，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $3 \sqrt{2} π$ B、 $9 \sqrt{2} π$ C、 $18 π$ D、 $18 \sqrt{2} π$

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10、某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中第1人是男生的条件下，第2人恰好是女生的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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11、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{5} = 1$ ， $S_{11} = - 11$ ，则 $S_{n}$ 的最大值为（）

A、16 B、18 C、23 D、25

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12、已知 ${(1 + 2 x)}^{7}$ 的展开式的第4项展的系数为（）

A、70 B、84 C、140 D、280

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13、若 $\bar{z} (1 - i) = 1 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $i$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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14、已知集合 $M = {x ∣ \lg x > 0}, N = {x ∣ 0 ⩽ x ⩽ 4}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $[0, 4]$ C、 $(1, 4]$ D、 ${1, 4}$

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15、已知 $a = {log}_{1.6} 0.8, b = {1.6}^{0.8}, c = {0.8}^{1.6}$ ，则实数 $a, b, c$ 的大小顺序为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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16、对于两个平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，如果有 $\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} > 0$ ，则称向量 $\vec{a}$ 是向量 $\vec{b}$ 的“迷你向量”．

(1)、若 $\vec{m} = (1, x)$ ， $\vec{n} = (2, 1 - x)$ ， $\vec{m}$ 是 $\vec{n}$ 的“迷你向量”，求实数x的取值范围；

(2)、一只蚂蚁从坐标原点 $O (0, 0)$ 沿最短路径爬行到点 $N (n, n)$ 处（ $n \in N$ 且 $n \geq 2$ ）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为 $P_{i} (1 \leq i \leq 2 n)$ ，设 $M (n - 1, 0)$ ．记事件 $T =$ “蚂蚁经过的路径中至少有n个 $P_{i}$ 使得 $\vec{O M}$ 是 $\vec{O P_{i}}$ 的迷你向量”．（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）
①写出从坐标原点 $O (0, 0)$ 沿最短路径爬行到点 $A (3, 1)$ 的所有路线（如：右右右上）一般地，总数n步中恰有m步向上走其余各步向右走的方法总数为： $C_{n}^{m} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - m + 2) \cdot (n - m + 1)}{m \cdot (m - 1) \cdot (m - 2) \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1}$
②当 $n = 3$ 时，求 $P (T)$ ；
③证明： $P (T) \leq \frac{1}{2^{n - 1}}$ ．

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17、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，PC垂直平面ABCD， $A B ⊥ A D$ ， $A B$ ∥ $C D$ ， $A D = C D = 1$ ， $P C = A B = 2$ ， E是线段PB上的动点．

(1)、证明： $A C ⊥ C E$ ；

(2)、求二面角 $P - A B - C$ 的正弦值；

(3)、若 $P D$ ∥平面 $A C E$ ，求点E的位置．

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18、复数z满足 $z^{2}$ 为纯虚数，复数z在复平面内所对应的点在第一象限．

(1)、已知 $|z| = 2$ ，求复数z；

(2)、已知 $z = 1 + i$ ，复数 $z, \bar{z}, z^{2}$ 所对应的向量为 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，已知 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (λ \vec{b} + \vec{c})$ ，求λ的值．

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19、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 2$ ，将 $△ B A C$ 沿直线 $A C$ 翻折至 $△ B_{1} A C$ 的位置，当三棱锥 $B_{1} - A C D$ 的体积最大时，则三棱锥 $B_{1} - A C D$ 的外接球的半径为．

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20、已知 $a, b \in R$ ， $a + b i = i^{4} - 3 \cdot i^{2025}$ （i为虚数单位），则 $a + 2 b =$ ．

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