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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的三内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $16 \sin C \cos (A - B) + 8 \sin 2 C = 3 π$ ，则 $△ A B C$ 的面积与 $△ A B C$ 外接圆的面积之比为．

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2、下列四个命题为真命题的是（）．

A、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ， $A = θ$ ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 $θ \in (0, \frac{π}{6})$ B、若向量 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(4, 2)$ C、已知向量 $\vec{a} = (\cos α, \sin α)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$ D、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (x + 2)$ 为奇函数，则 $f (2024) = 0$

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3、如图， $P$ 为平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $Q$ 为 $P A$ 的中点， $O$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，下列说法正确的是（）

A、 $O Q //$ 平面 $P C D$ B、 $P C //$ 平面 $B D Q$ C、 $A Q //$ 平面 $P C D$ D、 $C D //$ 平面 $P A B$

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4、如图，在四边形ABCD中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ D C$ 若， $| \vec{A B} | = a$ ， $| \vec{A D} | = b$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 等于（）

A、 $b^{2} - a^{2}$ B、 $a^{2} - b^{2}$ C、 $a^{2} + b^{2}$ D、 $a^{2} \cdot b^{2}$

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5、若实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 使得函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 的三个零点分别为椭圆、双曲线、抛物线的离心率 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的一种可能取值依次为（）

A、 $\{\begin{cases} a = - 2 \\ b = - 1 \\ c = 2 \end{cases}$ B、 $\{\begin{cases} a = 2 \\ b = 0 \\ c = - 2 \end{cases}$ C、 $\{\begin{cases} a = - \frac{7}{2} \\ b = \frac{7}{2} \\ c = - 1 \end{cases}$ D、 $\{\begin{cases} a = - 1 \\ b = \frac{7}{2} \\ c = - \frac{7}{2} \end{cases}$

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6、与直线 $x - y - 4 = 0$ 和圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 都相切的半径最小的圆的方程是（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$

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7、如图， $P 为$ 平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为 $P C$ 上一点，当 $P A / /$ 平面 $E B F$ 时， $\frac{P F}{F C} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、已知复数z满足 $(1 - i) z = - 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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9、为提高学生学习数学的热情，实验中学举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）78，70，72，86，79，80，81，84，56，83，则这10人成绩的第80百分位数是（）

A、83 B、83.5 C、84 D、70

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10、珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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11、已知向量 $\vec{m} = (2, - 1)$ ， $\vec{n} = (- 1, 3)$ ，则 $\vec{m} \cdot (\vec{m} - \vec{n})$ =（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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12、如果 $a < b < 0$ ，那么下列式子中一定成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{2} < a b$ C、 $\frac{b}{a} < 1$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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13、设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 (a \in R) ．$

(1)、若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值；

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围；

(3)、解关于x的不等式：f（x）＜a-1．

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14、如图甲，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2 \sqrt{2}, E$ 为线段 $D C$ 的中点， $△ A D E$ 沿直线 $A E$ 折起，使得 $D C = \sqrt{6}$ ，如图乙.

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、线段 $A B$ 上是否存在一点 $H$ ，使得平面 $A D E$ 与平面 $D H C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ？若不存在，说明理由；若存在，求出 $H$ 点的位置.

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15、已知函数 $f (x) = |x + \frac{1}{x}| - |x - \frac{1}{x}|$ .

(1)、指出函数 $f (x)$ 的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $k \cdot f^{2} (x) - 2 k f (x) + 6 (k - 7) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + m \cdot |f (x)| + n = 0 (m, n \in R)$ 恰有 $6$ 个不同的实数解，求实数 $n$ 的取值范围.

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16、大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销 $A, B$ 两种商品，据市场调查统计，当投资额为 $t (t \geq 0)$ 万元时，经销 $A, B$ 商品所获得的收益分别为 $f (t)$ 万元与 $g (t)$ 万元，其中 $f (t) = t + 1$ ， $g (t) = \{\begin{cases} \frac{10 t + 1}{t + 1}, 0 \leq t \leq 5 \\ - \frac{t^{2}}{2} + 6 t - 9, 5 < t \leq 10 \end{cases}$ ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．

(1)、假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；

(2)、如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{3 x}{2 x^{2} + 2}$ ， $x \in (- 1, 1)$ ．

(1)、单调性的定义证明 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上是增函数；

(2)、解关于 $t$ 的不等式： $f (t + \frac{1}{2}) < f (\frac{1}{2} - t)$ ．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、若不等式 $f (k x^{2}) + f (k x - 1) \geq 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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19、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} |2^{x} - 1|, x \leq 2 \\ - \frac{1}{2} x + 4, x > 2 \end{array}$ ，若有不相等的实数 $a, b, c$ 满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$ 的取值范围是.

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20、已知定义在 $R$ 上且不恒为0的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y \in R$ ，都有 $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ ，则（）

A、 $f (8) = 12 f (2)$ B、函数 $f (x)$ 是奇函数 C、对 $\forall n \in N^{*}$ ，有 $f (x^{n}) = n f (x)$ D、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (2^{0}) + f (2^{1}) + f (2^{2}) + \dots + f (2^{5}) = 258$

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