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相关试卷

1、在 ${(x - 1)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是（）

A、10 B、5 C、 $- 5$ D、 $- 10$

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2、抛掷一枚骰子，当出现6点时，就说试验成功，则在30次试验中成功的次数X的均值为（）

A、8 B、10 C、5 D、6

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3、抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点是

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(0, - 1)$ D、 $(0, 1)$

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4、等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{3} = 3$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、2024 B、2025 C、2026 D、2027

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5、设数列 $\{a_{n}\}$ 为： $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \cdot \cdot \cdot$ ，其中第1项为 $\frac{1}{1}$ ，接下来2项均为 $\frac{1}{2}$ ，再接下来4项均为 $\frac{1}{4}$ ，再接下来8项均为 $\frac{1}{8}$ ， …，以此类推，记 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ ，现有如下命题：①存在正整数 $k$ ，使得 $a_{k} < \frac{1}{k}$ ；②数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是严格减数列.下列判断正确的是（）

A、①和②均为真命题 B、①和②均为假命题 C、①为真命题，②为假命题 D、①为假命题，②为真命题

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6、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{64}$ ，公比为 $q$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \log_{0.5} a_{n}$ （ $n$ 是正整数），若当且仅当 $n = 4$ 时， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $B_{n}$ 取得最大值，则 $q$ 取值范围是（）

A、 $(3, 2 \sqrt{3})$ B、 $(3, 4)$ C、 $(2 \sqrt{2}, 4)$ D、 $(2 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot (\frac{1}{x} - \ln x + a)$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = - \frac{1}{e} x$ 垂直，求a的值及切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内单调递减，求a的取值范围.

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8、定义 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n} + 1 (n \in Z^{+})$ 那么以下说法正确的有（填序号）．
A． $a_{5} = 1809$
B．除了 $a_{1}$ 以外， $a_{n}$ 都是奇数
C．对于任意的n， $\frac{1}{a_{1}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 1$
D．以 $2 a_{n} - 1$ ， $2 a_{n + 1} - 2$ ， $2 a_{n + 1} - 1$ 为三边的三角形是直角三角形

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9、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{cases} 3 n - 4, n \in [1, 10] \\ - n + 20, n \in [11, + \infty) \end{cases} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{n}$ 的最大值为.

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10、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $A P ⊥ B D$ B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A B D$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ C、当 $λ + μ = 1$ 时， $A P$ $∥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ D、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时， $P$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11、下列说法中正确的是（）

A、将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B、设有一个线性回归方程 $\hat{y} = 3 - 5 x$ ，变量 $x$ 增加1个单位时， $\hat{y}$ 平均增加5个单位 C、设具有相关关系的两个变量 $x, y$ 的相关系数为 $r$ ，则 $| r |$ 越接近于 $0$ ， $x$ 和 $y$ 之间的线性相关程度越强 D、在一个 $2 \times 2$ 列联表中，由计算得 $K^{2}$ 的值，则 $K^{2}$ 的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大

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12、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - \ln x (a > 0, b \in R)$ ，若对任意 $x > 0$ ，有 $f (x) \geq f (1)$ ，则（）

A、 $\ln a < - 2 b$ B、 $\ln a > - 2 b$ C、 $\ln a = - 2 b$ D、 $\ln a \geq - 2 b$

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13、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = k n^{2} + n + 1$ ，则“ $k > - \frac{1}{3}$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 为递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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14、对于正实数a， $b (a > b)$ ，我们熟知基本不等式： $G (a, b) < A (a, b)$ ，其中 $G (a, b) = \sqrt{a b}$ 为a，b的几何平均数， $A (a, b) = \frac{a + b}{2}$ 为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数： $L (a, b) = \frac{a - b}{\ln a - \ln b}$ ．

(1)、设 $x > 1$ ，求证： $2 \ln x < x - \frac{1}{x}$ ；

(2)、证明 $G (a, b) < L (a, b)$ ；

(3)、若不等式 $G (a, b) + A (a, b) > m \cdot L (a, b)$ 对任意正实数 $a, b (a > b)$ 恒成立，求正实数m的取值范围．

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15、将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是（）

A、6 B、24 C、60 D、120

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{5} x + 2 y = 0$ ，其实轴长为 $4, P$ 为双曲线 $C$ 上任意一点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求证： $P$ 到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；

(3)、若双曲线 $C$ 的左顶点为 $A_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，求 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值.

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{a}{3} x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - 2 a x + 1$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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18、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 8 n$ ，且 $a_{1} = 1$ .

(1)、写出 $a_{2}, a_{3}$ ，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \{\begin{matrix} a_{n}, n 为奇数, \\ 2^{\frac{a_{n} + 1}{4}}, n 为偶数, \end{matrix}$ 求 $b_{1} b_{2} + b_{3} b_{4} + b_{5} b_{6} + \dots + b_{13} b_{14}$ .

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19、某中学高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为： $[80, 90), [90, 100), [100, 110), [110, 120), [120, 130), [130, 140), [140, 150]$ .其中 $a - b = b - c$ ，且 $c = 2 a$ .该50名学生的期中考试物理成绩统计如下表：
分组
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
频数
6
9
20
10
5

(1)、根据频率分布直方图，求 $a, b, c$ 的值，并估计数学成绩的平均分（同一组数据用该区间的中点值代表）；

(2)、若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从数学成绩为“优”的同学中随机抽取2人，求两人恰好均为物理成绩为“优”的概率.

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $b = 2, c = 2 cos A + \frac{\sqrt{3}}{2} a$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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分组	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
频数	6	9	20	10	5