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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \frac{1}{2} a e^{2 x} - (a + 1) e^{x} + x$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $a > 0$ ，证明 $f (x)$ 只有一个零点.

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2、在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”.

(1)、若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.

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3、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中.

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、若 $P A = A B = 2 \sqrt{2}$ ，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值.

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4、某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名；接受乙种疗法的患者中治愈的有85名.

(1)、根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位：人）
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
乙
合计
并依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；

(2)、根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.15
0.10
0.05
0.005
0.001
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
7.879
10.828

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5、若函数 $f (x) = a x^{2} + \frac{ln x}{x}$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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6、在 $x {(x + y)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3} y^{3}$ 项的系数为.

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7、函数 $f (x) = e^{x} - e x + 2024$ 的单调递减区间为.

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8、现有数字 $0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5$ 下列说法正确的是（）

A、可以组成 $600$ 个没有重复数字的六位数 B、可以组成 $288$ 个没有重复数字的六位偶数 C、可以组成 $3240$ 个六位数 D、可以组成 $2160$ 个相邻两个数字不相同的八位数

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 4, x \in [0, 2]$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[2, 6]$ B、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值为2 C、 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上是增函数 D、若方程 $f (x) = a$ 有2个不同的根，则 $a \in [2, 4]$

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10、已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表所示：
$X$
0
1
2
$P$
$q^{2}$
$0.5 - q$
$0.74$
则下列选项中正确的是（）

A、 $q = 0.6$ B、 $q = 0.4$ C、 $E (X) = 1.58$ D、 $D (X) = 0.5636$

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11、现要对三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（）

A、264种 B、216种 C、192种 D、144种

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12、甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（）

A、 $\frac{32}{81}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{16}{81}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为 $X$ ，则 $X$ 的方差 $D (X) =$ （）

A、1.5 B、7.5 C、20.5 D、37.5

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14、生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表：
父亲身高 $x / cm$
166
169
170
172
173
儿子身高 $y / cm$
168
170
171
175
176
并利用相关知识得到儿子身高 $y$ 关于父亲身高 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 1.2 x + \hat{a}$ .根据该经验回归方程，已知某父亲身高为 $175 cm$ ，预测其儿子身高为（）

A、 $176 cm$ B、 $177 cm$ C、 $178 cm$ D、 $179 cm$

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15、曲线 $f (x) = - 2 x^{3} + 1$ 在点 $(1, - 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $6 x + y + 5 = 0$ B、 $6 x + y - 5 = 0$ C、 $5 x - y - 6 = 0$ D、 $5 x + y - 4 = 0$

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16、某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩 $X ~ N (100, 10^{2})$ ，如果从高到低按照 $16 %, 34 %, 34 %, 16 %$ 的比例将考试成绩分为 $A, B, C, D$ 四个等级，则 $A$ 等级分数线大概为（）（参考数据：若 $X ~ N (μ, δ^{2})$ ，则 $P (μ - δ \leq X \leq μ + δ) \approx 0.6827, P (μ - 2 δ \leq X \leq μ + 2 δ) \approx$ $0.9545, P (μ - 3 δ \leq X \leq μ + 3 δ) \approx 0.9973)$

A、134 B、120 C、116 D、110

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17、以下求导计算正确的是（）

A、 ${(\sin \frac{π}{6})}^{'} = \cos \frac{π}{6}$ B、 $(\sqrt{x})^{'} = \frac{2}{\sqrt{x}}$ C、 $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ D、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$

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18、通过计算样本相关系数 $r$ 可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数 $r$ ，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（）

A、 $r = 0.93$ B、 $r = 0.82$ C、 $r = 0.04$ D、 $r = - 0.05$

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19、牛顿（1643－1727）给出了牛顿切线法求方程的近似解：如图设 $r$ 是 $y = f (x)$ 的一个零点，任意选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{1}$ ， $l_{1}$ 与 $x$ 轴的交点为横坐标为 $x_{1}$ ，称 $x_{1}$ 为 $r$ 的1次近似值，过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{2}$ ， $l_{2}$ 与 $x$ 轴的交点为横坐标为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的2次近似值．一般地，过点 $(x_{n}, f (x_{n}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{n + 1}$ ， $l_{n + 1}$ 与 $x$ 轴的交点为横坐标为 $x_{n + 1}$ ，就称 $x_{n + 1}$ 为 $r$ 的 $n + 1$ 次近似值，称数列 $\{x_{n}\}$ 为牛顿数列．

(1)、若 $f (x) = x^{3} + x - 1$ 的零点为 $r$ ， $x_{0} = 0$ ，请用牛顿切线法求 $r$ 的2次近似值；

(2)、已知二次函数 $g (x)$ 有两个不相等的实数根 $b, c (c > b)$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 为 $g (x)$ 的牛顿数列，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{x_{n} - b}{x_{n} - c} (n \in N^{*})$ ，且 $x_{n} > c$ ．
（ⅰ）设 $x_{n + 1} = h (x_{n})$ ，求 $h (x_{n})$ 的解析式；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{c_{1}} + \frac{1}{c_{2}} + \dots + \frac{1}{c_{n}} < \frac{2}{ln c_{1}}$

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20、在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，且不同对阵的结果相互独立.

(1)、若 $p = 0.6$ ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2)、除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.

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$α$	0.15	0.10	0.05	0.005	0.001
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	7.879	10.828

父亲身高 $x / cm$	166	169	170	172	173
儿子身高 $y / cm$	168	170	171	175	176

疗法	疗效		合计
疗法	未治愈	治愈	合计
甲
乙
合计

$X$	0	1	2
$P$	$q^{2}$	$0.5 - q$	$0.74$